混沌的本質
王玉平
內蒙古電大，呼和浩特 010051
摘要：以羅侖茲（Lorenz）系統及Logistic映射爲例，闡述了混沌的本質以及混沌系統中的秩序。
關鍵詞：混沌；狀態空間；奇怪吸引子；拉伸與摺疊；秩序。
在物理學的發展過程中，物理學家夢寐以求的是能夠用最簡潔的數學語言來描述最廣泛的物理現象，它既能夠描述物理世界的現在，也能夠準確地預測事物發展的未來。二十世紀以前，科學家們以堅定的信心來創建完美的物理學大廈，近一個世紀以來，隨着研究領域的日趨廣泛，新的物理現象不斷涌現，新的物理規律不斷建立，物理學家才意識到“完美的大廈”只是一個遙遠的夢想，首先海森伯測不準關係表明，準確地測量粒子的位置和速度受到某一基本的限制，而混沌現象的發現，表明預測系統的未來受到了根本的限制。當然這並不意味着物理學的發展走到了盡頭，只是使我們認識到了願望與現實之間的差距，並找到了一條認識複雜世界的正確道路，因爲現實世界多數是非線性的，以前解決此類問題時，多是將其簡化爲線性系統來做近似處理，否則只能束之高擱了，今天隨着混沌理論的建立和計算機技術的應用，使的科學家有了處理此類問題的能力。
一、混沌系統
自然界只有一個，但其表現行爲紛繁複雜，根據其複雜程度的不同可以分爲確定論系統和隨機系統。確定論系統指的是：根據系統的運動方程及初始條件就可以確定系統行爲的演化。確定論系統的運動方程往往有閉型解，其解是用初始狀態來表示任意時刻狀態的公式，因而只要知道初始狀態和最終時間就可以預測未來，與狀態的中間過程無關。即使初始條件有微小的偏差，其結果的偏差也不大，即系統的行爲是完全確定的，牛頓力學是確定論的典型代表。例如：根據行星的運動方程以及日、地、月的初始狀態，就可以預測幾百年甚至幾千年後的日食和月食。對於隨機系統來說，影響系統行爲的因素非常多，諸多因素構成的因果關係非常複雜，使得系統的行爲方式具有高度的隨機性，以統計力學和量子力學爲代表的概率論是處理此類複雜系統的主要工具。
不論是確定論系統，還是隨機系統，都是構成物理世界的兩個極端情況，而且也不是絕對的，出人意料的是，只有很少幾個參量的確定論系統竟會產生隨機性爲，這種隨機性行爲並非來自外界的干擾，而是系統的一種根本性質。事實上，許多具有確定的微分方程（或離散變量的映射）的非線性系統，在一定條件下表現出了隨機行爲，更令人驚奇的是，這種隨機行爲中蘊涵着一定的秩序。我們把非線性的確定論系統表現出的隨機行爲稱爲混沌。它是看似隨機卻並非完全隨機的系統。混沌理論的發現突破了確定論與隨機論之間不可逾越的障礙。混沌系統產生隨機行爲的根源在於系統的非線性，表現爲系統對初始狀態的敏感依賴性，即無論初始狀態的誤差多麼微小，都會隨系統的演化而迅速放大，就象一盤理想化的檯球，假設球在檯面上運動和相互碰撞均不損失能量，盡一切可能保持每次初始擊球狀態的一致性，隨着球的碰撞次數的增加，球的運動狀態會變的面目全非；同樣的例子是福利彩券的搖獎過程。這主要是由於系統在演化過程中誤差成指數增長，無論多麼小的誤差都會迅速增長到完全影響系統宏觀行爲的程度，因而混沌系統的長期行爲是不可預測的。
二、系統的刻畫
混沌理論研究的是有幾個變量的數學模型所確定的動力系統，動力系統由兩部分組成，即狀態與動態特性，狀態是指描述系統基本情況的物理參量，動態特性則是描述系統狀態如何隨時間變化的規則。研究動力系統的目的就是預測過程的最終發展結果，即測量出某一時刻系統的初始狀態，然後預測以後的時間序列中系統的長期特性（或漸進特性）。若動力系統隨時間是連續變化的，則稱這種連續變化的時間爲時間流。單擺的運動狀態就是連續的，因而可以用連續的時間流描述，描述此類系統的數學工具是微分方程。若動力系統的變化是發生在不連續的時間中，則稱這種離散的時間爲映射。例如在特定區域內每年新生的昆蟲個數就是用離散的時間映射描述的，處理映射的數學工具是差分方程。
對混沌系統最直觀的描述是狀態空間的引入，它是一種抽象的結構，其座標爲狀態的各個分量（或動力系統的自由度）。在力學系統中狀態空間可以由位置和速度來描述，而在生態系統中，狀態空間是由蟲口數描述的。以穩定的單擺系統爲例，在近平衡條件下，非阻尼擺的狀態空間由圖一所示，系統的每一狀態與狀態空間的一點對應，當擺來回擺動時，狀態空間中的點形成一橢圓軌道。
圖一 單擺軌道
對於混沌系統來說，由於其長期行爲的不可預測性，因此必須用漸進的方法來探索系統的狀態，並得到一系列的狀態值，我們把動力系統中的一點或一個數連續迭代所產生的序列稱爲軌道。上述單擺系統的軌道是一個橢圓，它表示系統的運動是週期性的。阻尼擺的運動不再是週期性的，在狀態空間的軌道盤旋縮小，最後靜止在原點的一條螺旋線，
可以看出，狀態空間能以直觀的幾何形式表現系統的行爲，阻尼擺最終會停下來，這意味着軌道最終會趨於一個不動點，它好象吸引了鄰近軌道，因此稱爲吸引子，所謂吸引子是指系統反覆出現或越來越逼近的狀態集。它是刻畫系統在狀態空間中長期行爲的幾何形式，是系統行爲的最後歸宿。阻尼擺的吸引子是一個不動點，實際上任意隨時間歸於靜止的系統都可以由狀態空間中的一個不動點描述。近平衡條件下的非阻尼擺，其吸引子爲一極限環（見圖一），它表示系統作週期運動。另一類更復雜的吸引子是二維環面吸引子，其結構類似麪包圈的表面，它反映了系統的擬週期運動，對於擬週期運動，雖然情況較爲複雜一些，但系統的行爲仍然是可以預測的，因爲在二維環面吸引子上，初始狀態靠的很近的軌道始終靠的比較近，隨系統的發展誤差變化不大，因此長期預測是可靠的。我們把可預測系統的吸引子（不動點、極限環、二維環面）稱爲平庸吸引子。平庸吸引子的最大特點是，初始狀態相近的軌道，始終比較接近，誤差始終侷限在一定範圍內，因此係統的長期行爲是可以預測的。
三、蝴蝶效應
在發現混沌現象之前，科學家們一直認爲微分方程的解只有四種類型：不動點；極限環；二維環面；發散軌道。1963年麻省理工學院的氣象學家羅倫茲（E.N.Lorenz）在研究天氣的不可預測性時，從流體的運動方程出發，通過簡化方程獲得了具有三個自由度的系統，並再計算機上用他所建立的微分方程模擬氣候變化，意外地發現，初始條件的極微差別可以引起模擬結果的巨大變化，這表明天氣過程以及描述它們的非線性方程是如此的不穩定，以至巴西熱帶雨林的一隻蝴蝶偶然拍動一下翅膀，幾星期後可以在美國德克薩斯州引起一場龍捲風，這就是天氣的“蝴蝶效應”。
羅淪茲方程的具體形式爲
（1）
（2）
（3）
其中x、y、z、爲無量綱量，分別表徵對流強度，對流中升流與降流間的溫差和豎直方向溫度分佈的非線性度。任意給定初值，系統最終都會回到狀態空間的特定區域內，其吸引子具有精巧而奇特的結構，如圖三所示，表明系統進入了混沌狀態。
圖三 Lorenz混沌吸引子
蝴蝶效應表明，初始條件的極細微變化，隨着時間的推移會顯著地影響系統的宏觀行爲，反映在狀態空間中，初始狀態非常接近的二條軌道，只在很短的時間內靠的比較近，然後會迅速散開，因此根據初始狀態預測系統的長期行爲，會由於誤差的迅速擴大，使長期行爲的預測受到了根本的限制。
混沌吸引子較平庸吸引子要複雜的多，其最大特點是，初始狀態相近的二條軌道會迅速散開，然後再次靠近，再迅速散開，且這種聚散行爲具有隨機性，所以混沌吸引子也稱爲奇怪吸引子。
四、混沌的本質
爲了能夠更近一步認識混沌的本質，有必要重新認識混沌吸引子的構造，首先，由於受到測量精度和海森伯測不準關係的限制，初始狀態的測量不可能絕對精確，反映在狀態空間就不可能是一個點，而是具有誤差的一個小區域，隨着動力系統的演化，誤差會迅速放大，在狀態空間中表現爲兩條很近的軌道迅速遠離，通常稱這一過程爲對狀態空間的拉伸操作。由於系統的狀態是侷限在吸引子區域內的，因而遠離的軌道會彎曲過來再次靠近（但不相交），這一過程稱爲對狀態空間的摺疊操作，隨着系統的演化，拉伸和摺疊操作反覆進行，兩條初始狀態很近的軌道會佈滿整個吸引子區，換句話說，初始測量誤差很快佈滿整個吸引子區，這也是混沌系統表現出隨機行爲的根本原因。另外需要指出的是，由於對狀態空間反覆進行拉伸和摺疊操作，因而混沌吸引子的表面不是光滑的，存在許多皺摺，且皺摺中嵌套着皺摺，無限循環下去。如果我們把皺摺充分放大，會發現其結構與所在區域的整體結構具有相似性，這種無限嵌套的自相似幾何結構稱爲分形（fractals）。
混沌現象的產生並非由系統外界隨機因素影響而致，而是由於系統本身非線性相互作用的結果，因而不能通過降低“噪聲”來消除系統的隨機行爲,由於混沌系統的複雜性，因而可以用新的物理量來定性地描述，這就是“狀態熵”的引入，用來反映系統狀態的變化趨勢，當系統軌道發散時，亦即對狀態空間拉伸操作時，狀態熵增加，非線性自相互作用使系統有“狀態增益”的趨勢；當系統軌道收斂時，也就是對狀態空間進行摺疊操作時，系統狀態熵減少，非線性自相互作用使系統有“狀態損益”的趨勢。如果事實果真如此的話，對於象宇宙這樣的非線性系統，無論其是有限的還是無限的，由於非線性自相互作用，宇宙永遠不會趨於“熱寂”，就局部來看，引力黑洞就是狀態熵減少的一個例子，而星系爆發就是狀態熵增加的例子，而且星系構造的分形特徵也是顯而易見的，那麼把整個宇宙看成一個封閉的熱力學系統，並推斷出其最終趨於“熱寂”的方法就是片面的。
五、通向混沌的道路
談到混沌系統，由於其行爲的複雜性，往往認爲其動態特性（運動方程）也一定非常複雜，事實並非如此，一個參量很少、動態特性非常簡單的系統有時也能夠產生混沌現象，以一維蟲口模型爲例，假設某一區域內的現有蟲口數爲yn，昆蟲的繁殖率爲μ，且第n代昆蟲不能存活於第n+1代，既無世代交疊，則第n+1代蟲口數爲 ，μ＞1時，蟲口會無限制地增長；μ＜1時，蟲口最終會趨於消亡，因此需要對模型進行修正。由於環境的制約和食物有限，因爭奪生存空間發生相互咬鬥事件的最大次數爲，即制約蟲口數的因素與 成正比，設咬鬥事件的戰死率爲β則對蟲口的修正項爲- ，則有：
（4）
，上式可寫爲
（5）
取最大蟲口數爲1，且蟲口數不能爲負，則 ；當 =0.5時，方程有極大值 ，而 又必須小於1，因而μ＜4，則參量μ的取值範圍爲1到4，這就得到一個抽象的標準蟲口方程（5），這一迭代關係通常稱爲邏輯斯蒂映射（logistic map）。一個看似簡單的系統，隨着參量的不同會表現出截然不同的行爲，當μ的取值範圍在1~3時，方程（5）有定態解.
(6)
即方程通過多次迭代後趨於一個穩定的不動點，此時系統是穩定的。μ在3~3.448範圍內取值時，經過多次迭代，方程（5）出現週期二解
（7）
（8）
隨着μ的增大，μ=3.449；3.544;3.564…依次出現週期4、週期8、週期16…的振盪解，這種行爲稱爲倍週期分岔，直到μ＞3.5699時，系統進入了混沌狀態，如圖四所示，此時系統的狀態不再具有規律性，而是發生隨機的波動，使圖四右側的大部分區域被塗黑了，仔細觀察發現，混沌區域並非一片塗斑，而是有粗粗細細的白色“豎線”，稱爲週期窗口，隨着參量μ的增大（如）時，混沌突然消失，系統出現週期三的穩定狀態，
圖四 Logistic映射分差圖
接着倍週期分岔以更快的速度進行，再次進入混沌狀態。如果將週期窗口放大，發現其結構與分岔圖的整體結構具有相似性，而且是一種無限嵌套的自相似結構。
可以看出，通過改變系統參量，使系統進入混沌的第一種模式是倍週期分岔，即由不動點→週期二→週期四→…無限倍週期→進入混沌狀態。當然通向混沌的道路不只於此，第二種通向的道路是：從平衡態到週期運動，再到擬週期運動，直到進入混沌狀態。第三種通向混沌的方式是陣發（或間歇）道路，即系統在近似週期運動的過程中，通過改變參量，系統會出現陣發性混沌過程，隨着參量的調整，陣發性混沌越來越頻繁，近似的週期運動越來越少，最後進入混沌。
六、混沌系統中的秩序
雖然混沌系統具有複雜性和不可預測性，但期間也蘊涵着某種規律性，（一）混沌系統中普遍存在奇怪吸引子，無論系統的動態特性多麼複雜以及初始狀態如何不同，系統的狀態最終會回到吸引子區；（二）系統狀態的終態集具有精巧的幾何結構，奇怪吸引子具有無限嵌套的自相似性；（三）在通往混沌的道路上，倍週期分岔點的收斂速率是一普適常數。
以logistic映射爲例，費根鮑姆常數…，這一常數同樣適用於許多其它混沌系統，因而具有普適性。
參考書目：
[1]《大學物理》 常樹人等 混沌淺說1999.10 39—42
[2]《大學物理》（當代物理前沿專題部分） 蔡樞 吳銘磊 高等教育出版社 136—143
內蒙古廣播電視大學 王玉平
貝塔朗菲定義1：系統是相互聯繫、相互作用着的諸元素的集，或統一體。
錢學森定義1：什麼叫系統，系統就是有許多部分組成的整體，所以系統的概念就是要強調整體，強調整體是由相互關聯、相互制約的各個部分所組成的。
定義1強調：（1）元素間的相互聯繫、相互作用及系統的整體性，系統不是諸部分無組織的拼合物，而是由各部分組織而成的統一的整體。（2）系統是由元素集和關係集共同決定的，元素間的相互關係與元素本身一樣重要，不可忽略。（3）系統內不存在獨立於相互關係的孤立部分（或孤立元）。
根據該定義，確定整體性與組織性（或相關性）是系統最基本的特徵，它們是由系統本身的規定性所決定，也是區別於以往科學研究對象的最明顯的特徵。整體性是系統最突出、最基本的特徵之一。系統指的是"整體"即"有組織的統一體"，系統之所以爲系統就是因爲系統是作爲一個有機整體而不是各部分的簡單相加而存在的，是否具有整體性，即"有組織的統一體"是區分系統與非系統的判據。系統內部的組織性是系統具有整體性的原因。系統論中組織性主要指各部分間的相關性，系統論強調組成系統的各部分之間的相互關係和相互作用。
貝塔朗菲定義2：系統是"處於一定的相互關係中並與環境發生關係的各部分組成部分的總體（或集）"。
錢學森定義2：系統是由相互作用和相互依賴的若干組稱各部分合成的具有特定功能的有機整體，而且這個系統本身又是它所從屬的一個更大系統的組成部分。
定義2強調：（1）系統的功能，即系統與環境的相互聯繫和作用。系統不僅具有整體性的"組織"，即整體結構，而且具有整體性的行爲和功能。（2）系統的開放性。（3）系統的多級層次性。
定義2明確規定了系統與環境不可分割的關係，從而表明了系統科學與經典科學的另一重要差別。系統科學不再遵循系統的孤立原則，"把現象隔離於狹窄的封閉或孤立狀態中，而開始考察它們之間的相互作用並考察越來越大的自然界對象"。系統科學不僅考慮同一層次間各部分的相互作用，而且考慮不同層次間的相互作用。
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