第一章 隨機事件和概率
概率論的任務是尋求隨機現象發生的可能性,並對這種可能性的大小給出度量方式及其算法
隨機試驗是對隨機現象的觀察
① 可在相同條件下重複進行
② 每次試驗可能出現不同的結果,最終出現哪種結果,試驗之前不能確定
③事先知道試驗可能出現的全部結果
隨機試驗的每一個可能結果成爲一個隨機事件,簡稱事件
事件分爲基本事件和複合事件。又可分爲必然事件(記做Ω)和不可能事件(記做)
樣本空間:一個隨機試驗E產生的所有基本事件構成的集合稱爲樣本空間(記做Ω),稱其中元素爲一個樣本點,
記做ω。 Ω={ω}。
① 事件的包含與相等
② 事件的和(並)與積(交)
③ 互不相容事件與對立事件
設A、B爲兩事件,若A和B不能同時發生,即AB=,則稱A和B是互不相容事件或互斥事件
若A、B互不相容,且他們的和爲必然事件,即AB=及A∪B=Ω,則稱A和B爲對立事件或互爲逆事件
④ 兩事件的差
設A、B爲兩事件,“事件A發生而事件B不發生”是一個事件,稱爲事件A和B的差事件,記做A-B
事件的運算性質:
① 交換律:A∪B=B∪A,AB=BA;
② 結合律:A∪(B∪C)=(A∪B)∪C,(AB)C=A(BC);
③ 分配律:A(B∪C)=(AB)∪(AC),
A∪(BC)=(A∪B)(A∪C);
④ 德摩根(De Morgan)對偶律:
(A∪B)的逆=A的逆交B的逆; AB的逆=A的逆∪B的逆
概率的統計定義——定義1.1: P(A)≈n/N
① 非負性 ② 規範性 ③ 有限可加性
古典型概率:① 有限性 ②等可能性
P(A)=(A中所有樣本點數)/Ω中樣本點總數=m/n
n的計數規則:加法原理、乘法原理
超幾何分佈
幾何型概率
設有隨機試驗E,E的樣本空間爲Ω,記包括Ω在內的E的所有事件組成的集合族爲£,若對£中的任一個事件A
都能賦予一個實數P(A),且P(A)滿足條件:
① 非負性:0<=P(A)<=1
② 規範性:P(Ω)=1
③ 可列可加性: 對兩兩互不相容的事件A,A,A…,有
P((i=1,∞)∑Ai)=(i=1,∞)∑P(Ai)
則稱P(A)爲事件A的概率
性質1:不可能事件概率爲0,即P()=0
性質2: 有限可加性
性質3:(逆事件)P(A的逆)=1-P(A)
性質4: P(A-B)=P(A-AB)=P(A)-P(AB)
性質5: (加法公式)設A、B、C爲任意三個事件,P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)
P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)
條件概率:P(A|B)=P(AB)/P(B)
非負性:0<=P(A|B)<=1
規範性:P(Ω|B)=1
可列可加性:
P(A的逆|B)=1-P(A|B)
乘法公式: P(AB)=P(A|B)P(B) 當P(B)>0時
P(AB)=P(B|A)P(A)
全概率公式(定理1.1):設樣本空間Ω的一個劃分爲A,A,A…,且P(Ai)>0,i=1,2,...,n,則對任一事件B
含於Ω,有 P(B)=(i=1,n)∑P(B|Ai)P(Ai)
貝葉斯公式: 設A,A,A… 爲一個樣本空間Ω的一個劃分,且P(Ai)>0,i=1,2,3,...,n.對任意的隨機事件B
含於Ω,若P(B)>0,則P(Ai|B)=P(B|Ai)P(Ai)/((j=1,n)∑P(B|Aj)P(Aj))