淺談擴展gcd

淺談擴展gcd

前言

有一段時間覺得擴展gcd很簡單，然後不知道爲什麼有一段時間又覺得迷惑不清，於是現在我來重新梳理一下。

擴展gcd是什麼

$ax+by=gcd(a,b)$，$a,b$不完全爲0，且$x,y$都爲整數解。求解。

注：$[]$爲向下取整的意思

求解

假設$a>b$,
$1.顯然當b=0時，gcd(a,b)=a$。此時，$x=1.y=0$
2.$a<>b$
設$ax1+by1=gcd(a,b)$
設$bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b)$
由$gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)$
可知
$ax1+by1=bx2+(a mod b)y2$
可知
$ax1+ by1= bx2+ (a - [a / b] * b)y2=ay2+ bx2- [a / b] * by2$
得
$ax1+ by1 == ay2+ b(x2- [a / b] *y2)$
易得
$x1=y2; y1=x2- [a / b] *y2$
則可遞歸求出一組$x,y$，其他解見求解不定方程

模板

void exGcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1;y=0;
        return;
    }
    exGcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;x=y;y=t-a/b*y;
}

我們需要的解則就是$x,y$（該組解沒有什麼其他特點）

應用

……整理到現在我發現擴展gcd好simpl*啊

求乘法逆元

存在同餘方程$ax≡b (mod n)$
如果$gcd(a,n)==1$且$b==1$時
$ax≡1 (mod n )$
可等同於求方程
$ax+ny=1$

過程:

設，$x≡y(mod p)$
可得：$x+kp=y$,$k$可正可負
相當於說，$p$是x的除以的數，$y$是餘數，所以可得
那麼把上面的方程代入亦可得解

則用擴歐求之

線性同餘方程（其實和上面差不多）

$ax≡b (mod n)$
當$b$%$(gcd(a,n)==0)$，則有解
可轉換爲$ax+ny=b$
則用擴歐求之

求解不定方程

$ax+by=c$
首先你必須要保證$gcd(a,b)$要整除c，
設$g=gcd(a,b),a'=a/g,b'=b/g,c'=c/g$
由線性同餘方程，我們可以得出$a'x'+b'y'=1$的整數解（看上面mo）
那麼$a'c'x'+b'c'y'=c'$
然後可得 $a'gc'x'+b'gc'y'=c'g$
即$ac'x'+bc'y'=c$
所以$x0=c'x'$ ， $y0=c'y'$則爲方程的一組解

然後
因爲$a'x+b'y=c$和$a'x≡c'(modb')$可以互相轉換（線性同餘方程的應用）
所以$x$是模$b'$同餘的一個剩餘類
可得
$x=x0+b'*t,y=y0-a'*t，t是整數$

剩餘類:一個整數被正整數n除後，餘數有n種情形：0，1，2，3，…，n-1，它們彼此對模n不同餘。這表明，每個整數恰與這n個整數中某一個對模n同餘。這樣一來，按模n是否同餘對整數集進行分類，可以將整數集分成n個兩兩不相交的子集。我們把（所有）對模n同餘的整數構成的一個集合叫做模n的一個剩餘類。

加油搞懂它!!!