從零開始高三物理之單擺公式證明

單擺公式

$T=2π \sqrt{l/g}$

證明

首先單擺在擺線和平衡位置時的擺線的夾角小於10度的時候可以視作簡諧運動
簡諧運動的判定標準是 是否存在回覆力滿足 $F=-kx$ 其中$k$是恢復係數，是不變的
所以當夾角小於10度的時候，$F=mgsin\theta$,$\theta$小於10度$sin\theta$可以忽略不計，所以此時可以視作簡諧運動

設擺長$l$,此時擺錘到平衡位置距離爲$x$
由此可得 ，$F=mgsin\theta=mgx/l=-kx$，得$k=-mg/l$
因爲，簡諧運動中$x=Asin(\omega t+\phi)$，那麼$v$就是$x$ 的斜率，求導可得，$v=-\omega Acos(\omega t+\phi)$，
同理求導可得加速度$a=-{\omega}^2Asin(\omega t+\phi)$，
因爲此時回覆力即提供加速度的合力，
所以$F=ma=-kx$,將上述公式代入，即$-m{\omega}^2Asin(\omega t+\phi)=-mg/lAsin(\omega t+\phi)$
得 $\omega=\sqrt{\frac{g}{l}}$
因爲$\omega=2πf$且$f=\frac{1}{T}$
可證：$T=2π \sqrt{l/g}$

反思

開學考選擇題有道題出了整個模型，那時候沒看出來，老師講的時候我連單擺公式等全忘了
所以作此整理。

以後有空會把費老師的數學秒殺法陸陸續續傳上來
本來想着把錯排公式證明一下，但是費老師說不必要，就算了。