本系列教程來源於出版設計《基於MATLAB編程基礎與典型應用書籍》，如涉及版權問題，請聯繫：[email protected]。 出版社：人民郵電出版社， 頁數：525。
本系列教程目前基於MATLABR2006a，可能對於更高級版本的功能和函數有差異，教程中如有問題，請聯繫：[email protected]
##3.2 矩陣的分解
矩陣的分解是矩陣相關運算中的重要內容，MATLAB提供了用於矩陣分解運算的多種函數。本節將集中介紹MATLAB所提供的矩陣分解運算函數的功能及使用。
###3.2.1 LU分解
矩陣的三角分解又稱高斯消去法分解，它的目的是將一個矩陣分解成一個下三角矩陣L和一個上三角矩陣U的乘積，即A=LU。MATLAB提供了專門的函數lu來計算矩陣的LU分解。該函數的調用格式如下：
① [L,U] = lu(X)② [L,U,P] = lu(X)
其中，返回矩陣U爲上三角陣，矩陣L爲下三角陣或其變換形式，且滿足LU=X。返回矩陣P爲單位矩陣的行變換矩陣，滿足LU=PX。
【例3.24】矩陣X的LU分解
在命令窗口中輸入以下內容，創建矩陣X：>> X=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
①對矩陣X進行LU分解，在命令窗口輸入：>> [L,U] = lu(X) %對矩陣X進行LU分解
###3.2.2 奇異值分解
奇異值分解在矩陣分析中佔有極其重要的作用。MATLAB提供了用於矩陣奇異值分解的函數svd，該函數是利用LINPACK程序庫中的ZSVDC編制而成的。在計算的過程中假如經過75步QR分解仍得不到一個奇異值，那麼系統會給出“不收斂”的提示。奇異值分解函數svd的幾種調用格式如下：
① s = svd (X)② [U,S,V] = svd (X)③ [U,S,V] = svd (X,0)
其中，命令①返回向量s包含矩陣X分解所得到的全部奇異值向量。命令② 返回一個與X同大小的對角矩陣S和兩個酉矩陣U與V，且滿足= USV'。命令③ 得到一個“有效大小”的分解，如果m×n維矩陣X中m>n則只計算出矩陣U的前n列，矩陣S的大小爲n×n。
【例3.25】奇異值分解。
在命令窗口中輸入以下內容，創建矩陣b1。>> b1=[1 2 3;4 5 6;7 8 9;2 4 6;5 7 5];
①對b1進行奇異值分解，返回一個與b1同大小的對角矩陣S以及兩個酉矩陣U和V。在命令窗口中輸入：>> [U,S,V] = svd (b1) %對b1進行奇異值分解
②對b1進行奇異值分解，調用能得到一個“有效大小”的分解的函數格式，返回對角矩陣S以及兩個酉矩陣U和V。在命令窗口中輸入：>> [U,S,V] = svd (b1,0) %對b1進行奇異值分解
###3.2.3 特徵值分解
MATLAB提供了eig函數來對矩陣進行特徵值分解，該函數的幾種調用格式如下：
① d = eig(A)② d = eig(A,B)③ [V,D] = eig(A)④ [V,D] = eig(A,'nobalance')⑤ [V,D] = eig(A,B)⑥ [V,D] = eig(A,B,flag)
其中，①計算矩陣A的特徵值d，返回結果以向量形式存放。②計算方陣A和B的廣義特徵值d，返回結果以向量形式存放。③計算矩陣A的特徵值對角陣D和特徵向量陣V，使AV=VD成立。④計算矩陣A的特徵值對角陣D和特徵向量陣V，使AV=VD成立。當矩陣A中有與截斷誤差數量級相差不遠的值時，該指令可能更精確。'nobalance'起誤差調節作用。⑤計算矩陣A和B的廣義特徵值向量陣V和廣義特徵值陣D，滿足AV=BVD。最後一條命令⑥由flag指定算法計算矩陣A和B的特徵值D和特徵向量V。其中，flag的可能值爲：'chol' 和'qz' 。當flag值爲'chol'時表示對B使用Cholesky分解算法，其中A爲對稱Hermitian矩陣，B爲正定陣。當flag值爲'qz'時表示使用QZ算法，其中A、B爲非對稱或非Hermitian矩陣。
【3.26】特徵值分解
在命令窗口中輸入以下內容，創建矩陣A。>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
對矩陣A進行特徵值分解，在命令窗口輸入：>> [V,D] = eig(A) %對矩陣A進行特徵值分解
###3.2.4 Cholesky分解
MATLAB提供了chol函數來對矩陣進行Cholesky分解，該函數的調用格式爲：
①R = chol(X)②[R,p] = chol(X)
函數調用格式①如果X爲n階對稱正定矩陣，則存在一個實的非奇異上三角陣R，滿足R'*R = X；若X非正定，則產生錯誤信息。②不產生任何錯誤信息，若X爲正定陣，則p=0，R與上相同；若X非正定，則p爲正整數，R是有序的上三角陣。
【例3.27】Cholesky分解
在命令窗口中輸入以下內容，創建矩陣A。>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];
對矩陣A進行Cholesky分解，在命令窗口中輸入：>> [R,p] = chol(A) %對矩陣A進行Cholesky分解
| ###3.2.5 QR分解 正交矩陣是指矩陣的列向量相互正交，且各個列向量的長度相等。QR分解就是將矩陣A分解成一個正交矩陣與一個上三角矩陣的乘積。MATLAB提供了用於矩陣QR分解的函數，表3.7中介紹用於矩陣QR分解的函數調用格式和功能。 表3.7 矩陣QR分解 |
函數名 | 功能 |
|---|---|---|
[Q,R] = qr(A) |
求得正交矩陣Q和上三角陣R，Q和R滿足A=QR | |
[Q,R,E] = qr(A) |
求得正交矩陣Q、上三角陣R和單位矩陣的變換形式矩陣E，R的對角線元素按大小降序排列，滿足AE=QR | |
[Q,R] = qr(A,0) |
產生矩陣A的“經濟大小”分解 | |
[Q,R,E] = qr(A,0) |
E的作用是使得R的對角線元素降序，且Q*R=A(:, E) | |
R = qr(A) |
稀疏矩陣A的分解，只產生一個上三角陣R，滿足R'R = A'A，這種方法計算A'*A時減少了內在數字信息的損耗 | |
[C,R] = qr(A,b) |
用於稀疏最小二乘問題：minimize 的兩步解：[C,R] = qr(A,b)，x = R\c | |
R = qr(A,0) |
針對稀疏矩陣A的經濟型分解 | |
[C,R] = qr(A,b,0) |
針對稀疏最小二乘問題的經濟型分解 | |
[Q,R]= qrdelete(Q,R,j) |
返回將矩陣A的第j列移去後的新矩陣的qr分解 | |
[Q,R]= qrinsert(Q,R,j,x) |
在矩陣A中第j列插入向量x後的新矩陣進行qr分解。若j大於A的列數，表示在A的最後插入列x |
###3.2.6 Schur分解
Schur分解將使用schur函數，該函數的調用格式爲：
①T = schur(A)②T = schur(A,flag)③[U,T] = schur(A,…)
命令行①-③返回正交矩陣U和schur矩陣T，滿足A = UTU'。其中，若A有復特徵根，則flag='complex'，否則flag='real'。
【例3.31】Schur分解
在命令窗口輸入以下內容，創建矩陣K。>> K=magic(3); %生成3階的魔方陣
對矩陣K進行Schur分解，在命令窗口輸入：>> [U,T]=schur(K) %對矩陣K進行Schur分解
###3.2.7 複數特徵值對角陣與實數塊特徵值對角陣的轉換
即使是實陣，在其特徵值中也可能出現複數。實際使用中常需要把這一對對共軛複數特徵值轉化爲一個（2x2）的實數塊。函數調用格式爲：
① [VC,DC] = rsf2csf (VR,DR) % 將實舒爾形式轉化成復舒爾形式② [VR,DR] = cdf2rdf (VC,DC) %將復舒爾形式轉化成實舒爾形式【例3.32】複數特徵值對角陣與實數塊特徵值對角陣的轉換
在命令窗口輸入以下內容，創建矩陣B。>> B=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
首先對矩陣B進行Schur分解，在命令窗口輸入：>> [u,t]=schur (B) %對矩陣B進行Schur分解
然後將實舒爾形式轉化成復舒爾形式，在命令窗口輸入：>> [U,T]=rsf2csf (u,t) %實舒爾形式轉化成復舒爾形式
###3.2.8 廣義奇異值分解
MATLAB提供了gsvd函數對矩陣進行廣義奇異值分解，其具體調用格式爲：
①[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B)②[U,V,X,C,S] = gsvd(A,B,0)③sigma = gsvd (A,B)
其中，函數調用格式①返回酉矩陣U和V、一個普通方陣X、非負對角矩陣C和S，滿足A = UCX'，B = VSX'，C'C + S'S = I (I爲單位矩陣)。A和B的列數必須相同，行數可以不同。函數調用格式②和①基本相同，而③則返回廣義奇異值sigma值。
【例3.33】廣義奇異值分解
在命令窗口輸入以下內容，創建矩陣AO和d。>> AO=[1 2 3 4 5 6 7 8;2 3 4 5 6 7 8 9;3 4 5 6 7 8 9 0]';>> d=magic(3); %生成3階的魔方陣
對矩陣AO進行廣義奇異值分解，在命令窗口輸入：>> [U,V,X,C,S] = gsvd(AO,d) %對矩陣AO進行廣義奇異值分解
###3.2.9 特徵值問題的QZ分解
MATLAB提供了qz函數對矩陣進行特徵值問題的QZ分解，該函數的調用格式爲：
①[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B)②[AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B,flag)
其中函數調用格式①中A、B爲方陣，返回結果AA和BB爲上三角陣，Q、Z爲正交矩陣或其列變換形式，V爲特徵向量陣，且滿足QAZ= AA 和QBZ = BB。命令行②產生由flag決定的分解結果，flag取值爲'complex'表示複數分解（默認）；取值爲'real'表示實數分解。
【例3.34】特徵值問題的QZ分解
在命令窗口輸入以下內容，創建矩陣A和B。>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9];>> B=[5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;4 5 6 7 8];
對矩陣A、B進行特徵值問題的QZ分解，在命令窗口輸入：>> [AA,BB,Q,Z,V] = qz(A,B) %對矩陣A、B進行特徵值問題的QZ分解
###3.2.10 海森伯格形式的分解
如果矩陣H的第一子對角線下元素都是0，則H爲海森伯格(Hessenberg)矩陣。如果矩陣是對稱矩陣，則它的海森伯格形式是對角三角陣。MATLAB可以通過相似變換將矩陣變換成這種形式，具體調用格式爲：
①H = hess(A) 返回矩陣A的海森伯格形式②[P,H] = hess(A) P爲酉矩陣，滿足：A = PHP' 且P'P = eye(size(A))
【例3.35】海森伯格形式的分解
在命令窗口輸入以下內容，創建矩陣A。>> A=[1 2 3 4 5;5 3 4 8 5;6 8 7 6 9;2 6 8 2 1;2 7 9 3 9;]
計算矩陣A的海森伯格形式，可在命令窗口輸入：>> [P,H]=hess(A) %返回矩陣A的海森伯格形式作者：德特數據
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