數理統計與數據分析第三版習題 第3章 第29題

題目29

利用Farlie-Morgenstern 連接函數構造邊際密度爲指數分佈的二元密度，計算聯合密度的表達式

解題思路

$令F_X(x)=1-e^{-\lambda x},f_X(x)=\lambda e^{\lambda x}$
$令F_Y(y)=1-e^{-\mu y},f_Y(y)=\mu e^{-\mu y}$

$f_{XY}(x,y)=c(F_X(x),F_Y(y))f_X(x)f_Y(y)$

$令u=F_X(x),v=F_Y(y)$
$\begin{aligned} c(u,v)&=\frac{\partial^2}{\partial u\partial v}C(u,v) \space\space\space\space\space\space\space\space\space\space (1)\\ 其中：\\ C(u,v)&=uv(1+\alpha(1-u)(1-v))\\ &=uv+\alpha uv-\alpha u^2-\alpha uv^2+\alpha u^2v^2\\ 代入(1)式：\\ c(u,v)&=1+\alpha(1-2u)(1-2v)\\ f_{X,Y}(x,y)&=\lambda e^{-\lambda x}\mu e^{-\mu y}[1+\alpha(1-2(1-e^{-\lambda x}))(1-2(1-e^{-\mu y}))]\\ &=\lambda\mu e^{-\lambda x} e^{-\mu y}[1+\alpha(2e^{\lambda x}-1)(2e^{-\mu y}-1)]\\ &=\lambda\mu e^{-\lambda x} e^{-\mu y}[1+\alpha(1-2e^{\lambda x})(1-2e^{-\mu y})] \end{aligned}$