陳越-數據結構-樹筆記（下）

原創

2018-12-10 21:25

一、堆

最大堆的定義與創建

/* 創建容量爲MaxSize的空的最大堆 */
#define MAXDATA 1000  /* 該值應根據具體情況定義爲大於堆中所有可能元素的值 */
struct MaxHeap {
    ElementType *Data; /* 存儲元素的數組 */
    int Size;          /* 堆中當前元素個數 */
    int Capacity;      /* 堆的最大容量 */
    MaxHeap(int Maxsize){
        Size = 0;
        Capacity = MaxSize; 
        Data = new int[MaxSize];
        Data[0] = MAXDATA; /* 定義"哨兵"爲大於堆中所有可能元素的值*/
    }
};

最大堆的插入和刪除

bool IsFull( MaxHeap* H )
{
    return (H->Size == H->Capacity);
}
 
bool Insert( MaxHeap* H, ElementType X )
{ /* 將元素X插入最大堆H，其中H->Data[0]已經定義爲哨兵 */
    int i;
  
    if ( IsFull(H) ) { 
        printf("最大堆已滿");
        return false;
    }
    i = ++H->Size; /* i指向插入後堆中的最後一個元素的位置 */
    for ( ; H->Data[i/2] < X; i/=2 )
        H->Data[i] = H->Data[i/2]; /* 上濾X */
    H->Data[i] = X; /* 將X插入 */
    return true;
}
 
#define ERROR -1 /* 錯誤標識應根據具體情況定義爲堆中不可能出現的元素值 */
 
bool IsEmpty( MaxHeap* H )
{
    return (H->Size == 0);
}
 
ElementType DeleteMax( MaxHeap* H )
{ /* 從最大堆H中取出鍵值爲最大的元素，並刪除一個結點 */
    int Parent, Child;
    ElementType MaxItem, X;
 
    if ( IsEmpty(H) ) {
        printf("最大堆已爲空");
        return ERROR;
    }
 
    MaxItem = H->Data[1]; /* 取出根結點存放的最大值 */
    /* 用最大堆中最後一個元素從根結點開始向上過濾下層結點 */
    X = H->Data[H->Size--]; /* 注意當前堆的規模要減小 */
    for( Parent=1; Parent*2<=H->Size; Parent=Child ) {
        Child = Parent * 2;
        if( (Child!=H->Size) && (H->Data[Child]<H->Data[Child+1]) )
            Child++;  /* Child指向左右子結點的較大者 */
        if( X >= H->Data[Child] ) break; /* 找到了合適位置 */
        else  /* 下濾X */
            H->Data[Parent] = H->Data[Child];
    }
    H->Data[Parent] = X;
 
    return MaxItem;
}

二、哈弗曼樹和哈夫曼編碼

哈夫曼樹又稱最優二叉樹，是一種帶權路徑長度最短的二叉樹。所謂樹的帶權路徑長度，就是樹中所有的葉結點的權值乘上其到根結點的路徑長度（若根結點爲0層，葉結點到根結點的路徑長度爲葉結點的層數）。樹的路徑長度是從樹根到每一結點的路徑長度之和，記爲WPL=（W1* L1+W2* L2+W3* L3+…+Wn* Ln），N個權值Wi（i=1,2,…n）構成一棵有N個葉結點的二叉樹，相應的葉結點的路徑長度爲Li（i=1,2,…n）。可以證明霍夫曼樹的WPL是最小的。
在計算機數據處理中，霍夫曼編碼使用變長編碼表對源符號（如文件中的一個字母）進行編碼，其中變長編碼表是通過一種評估來源符號出現機率的方法得到的，出現機率高的字母使用較短的編碼，反之出現機率低的則使用較長的編碼，這便使編碼之後的字符串的平均長度、期望值降低，從而達到無損壓縮數據的目的。

哈弗曼樹構造
給出5個葉子結點，他們權值分別爲{1,2,3,4,5}

哈夫曼樹沒有度爲1的結點！！！

哈弗曼編碼