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先來看張圖，左邊是原圖，右邊是邊緣檢測後的圖，邊緣檢測就是檢測出圖像上的邊緣信息，右圖用白色的程度表示邊緣的深淺。
sobel.png
邊緣其實就是圖像上灰度級變化很快的點的集合。
如何計算出這些變化率很快的點？
1.導數，連續函數上某點斜率，導數越大表示變化率越大，變化率越大的地方就越是“邊緣”，但是在計算機中不常用，因爲在斜率90度的地方，導數無窮大，計算機很難表示這些無窮大的東西。
2.微分，連續函數上x變化了dx，導致y變化了dy，dy值越大表示變化的越大，那麼計算整幅圖像的微分，dy的大小就是邊緣的強弱了。
微分與導數的關係：dy = f '(x) dx
舉個例子：
在連續函數裏叫微分，因爲圖像是離散的，叫差分，和微分是一個意思，也是求變化率。
差分的定義，f '(x) = f(x + 1) - f(x)，用後一項減前一項。
按先後排列 -f(x) + f(x + 1)
提出係數 [-1, 1] 作爲濾波模板，跟原圖 f(x) 做卷積運算就可以檢測邊緣了
模板爲什麼要是奇數的？
因爲模板是偶數的話，卷積出來的結果應該是放在中間的，不方便表示。
例如：圖像 [10, 20, 30] 跟 [-1, 1] 卷積後的值，應該放在圖像 10 跟 20 中間的位置，就是應該放在 0 和 1 號位置的中間，也就是 0.5 號位，但是圖像是離散的，中間沒得放，只能放在 0 號位，也就是 10 的位置，就偏差了 0.5 的位置，爲了方便處理，濾波模板一般都是奇數個的，3，5，7 個的。
Sobel 邊緣檢測算子
所以用 f '(x) = f(x + 1) - f(x - 1) 近似計算一階差分。
排好序：[-1 * f(x-1)，0 * f(x)，1 * f(x+1)]
提出係數：[-1, 0, 1]
所以模板 [-1, 1] 被改造成了 [-1, 0, 1]
二維情況下就是
-1, 0, 1
-1, 0, 1
-1, 0, 1
這個就是 Prewitt 邊緣檢測算子了。
f(x-1, y-1), f(x, y-1), f(x+1, y-1)
f(x-1, y), f(x, y), f(x+1, y)
f(x-1, y+1), f(x, y+1), f(x+1, y+1)
中心點 f(x, y) 是重點考慮的，它的權重應該多一些，所以改進成下面這樣的
-1, 0, 1
-2, 0, 2
-1, 0, 1
這就是 Sobel 邊緣檢測算子，偏 x 方向的。（類似二元函數的偏導數，偏x，偏y）
同理可得
-1, -2, -1
0, 0, 0
1, 2, 1
是 sobel 偏 y 方向的算子。
分別計算偏 x 方向的 Gx，偏 y 方向的 Gy，求絕對值，壓縮到 [0, 255]
區間，即 G(x, y) = Gx + Gy 就是 sobel 邊緣檢測後的圖像了
Laplace 邊緣檢測算子
拉普拉斯是用二階差分計算邊緣的，看連續函數的情況下
在一階微分圖中極大值或極小值處，認爲是邊緣。
在二階微分圖中極大值和極小值之間的過 0 點，被認爲是邊緣。
拉普拉斯算子推導：
一階差分：f '(x) = f(x) - f(x - 1)
二階差分：f '(x) = (f(x + 1) - f(x)) - (f(x) - f(x - 1))
化簡後：f '(x) = f(x - 1) - 2 f(x)) + f(x + 1)
提取前面的係數：[1, -2, 1]
二維的情況下，同理可得
f '(x, y) = -4 f(x, y) + f(x-1, y) + f(x+1, y) + f(x, y-1) + f(x, y+1)
提取各個係數，寫成模板的形式
0, 1, 0
1, -4, 1
0, 1, 0
考慮兩個斜對角的情況
1, 1, 1
1, -8, 1
1, 1, 1
這就是拉普拉斯算子，與原圖卷積運算即可求出邊緣。
Canny 邊緣檢測算子
canny計算過程
1.高斯濾波器平滑圖像。
2.一階差分偏導計算梯度值和方向。
3.對梯度值不是極大值的地方進行抑制。
4.用雙閾值連接圖上的聯通點。
通俗說一下，
1.用高斯濾波主要是去掉圖像上的噪聲。
2.計算一階差分，OpenCV 源碼中也是用 sobel 算子來算的。
3.算出來的梯度值，把不是極值的點，全部置0，去掉了大部分弱的邊緣。所以圖像邊緣會變細。
4.雙閾值 t1, t2, 是這樣的，t1 <= t2
大於 t2 的點肯定是邊緣
小於 t1 的點肯定不是邊緣
在 t1, t2 之間的點，通過已確定的邊緣點，發起8領域方向的搜索（廣搜），圖中可達的是邊緣，不可達的點不是邊緣。
最後得出 canny 邊緣圖。
三個算子區別
sobel 產生的邊緣有強弱，抗噪性好
laplace 對邊緣敏感，可能有些是噪聲的邊緣，也被算進來了
canny 產生的邊緣很細，可能就一個像素那麼細，沒有強弱之分。
下面三張圖分別是 sobel，canny，laplace 結果圖。
sobel算子
canny算子
laplace算子