NOIP2016P4 魔法陣 題解

（題目描述略）

設魔法值爲 j 物品 $num_j$ 個，則魔法陣 $x_a, x_b, x_c, x_d$ 對於 A, B, C, D 物品貢獻分別爲 $num_{xb} * num_{xc} * num_{xd}, num_{xa} * num_{xc} * num_{xd}, num_{xa} * num_{xb} * num_{xd}, num_{xa} * num_{xb} * num_{xc}$。設 $i = x_d - x_c$，則 $x_b - x_a = 2i$，$x_c - x_b > 6i$，$x_d - x_b > 7i$，$x_c - x_a > 8i$，$x_d - x_a > 9i$。枚舉 $i \in [1, \lfloor \frac{n - 1}9 \rfloor]$，並枚舉 $x_a, x_d$ 使得 $1 ≤ x_a ≤ x_d ≤ n$ 且 $x_d - x_a > 9i$，由 $x_b = x_a + 2i$ 和 $x_c = x_d - i$ 得出每組可能 $x_a, x_b, x_c, x_d$ 統計即可，這樣可得 85 分。

對於滿分算法，考慮當 $x_a = n - 9i - 1$，即 $x_b = n - 7i -1$ 時，相應 $\begin{cases} x_c = n - i \\ x_d = n \end{cases}$；當 $\begin{cases} x_a = n - 9i - 2 \\ x_b = n - 7i - 2 \end{cases}$ 時，相應 $\begin{cases} x_c = n - i \\ x_d = n \end{cases}$ 或 $\begin{cases} x_c = n - 1 - i \\ x_d = n - 1 \end{cases}$。一般的，當 $\begin{cases} x_a = n - 9i - j \\ x_b = n - 7i - j \end{cases}(1 ≤ j < n - 9i)$ 時，相應 $x_c, x_d$ 解集爲 $\begin{cases} x_a = n - 9i - j + 1 \\ x_b = n - 7i - j + 1 \end{cases}$ 解集和 $\begin{cases} x_c = n - j + 1 - i \\ x_d = n - j + 1 \end{cases}$ 的並集，對於 A, B 物品貢獻分別爲 $num_{xb} * \sum_{k = 1}^j (num_{n - k + 1 - i} * num_{n - k + 1})$ 和 $num_{xa} * \sum_{k = 1}^j (num_{n - k + 1 - i} * num_{n - k + 1})$，而 $\sum_{k = 1}^j (num_{n - k + 1 - i} * num_{n - k + 1}) = \sum_{k = 1}^{j - 1} (num_{n - k + 1 - i} * num_{n - k + 1}) + num_{n - j + 1 - i} * num_{n - j + 1}$，前者可遞推得到。

代碼如下：

#include<stdio.h>
#define MAX_M (40005)
#define MAX_N (15005)
int num[MAX_N],suma[MAX_N],sumb[MAX_N],sumc[MAX_N],sumd[MAX_N],x[MAX_M];
int main()
{
	freopen("magic.in","r",stdin);
	freopen("magic.out","w",stdout);
	int k,m,n;
	scanf("%d %d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)
		num[i]=suma[i]=sumb[i]=sumc[i]=sumd[i]=0;
	for(int i=1;i<=m;i++)
		scanf("%d",&x[i]),num[x[i]]++;
	for(int i=1;i*9<n-1;i++)
	{
		k=0;
		for(int id=n;id-i*9>1;id--)
			k+=num[id-i]*num[id],
			suma[id-i*9-1]+=num[id-i*7-1]*k,
			sumb[id-i*7-1]+=num[id-i*9-1]*k;
		k=0;
		for(int ia=1;ia+i*9<n;ia++)
			k+=num[ia]*num[ia+i*2],
			sumc[ia+i*8+1]+=num[ia+i*9+1]*k,
			sumd[ia+i*9+1]+=num[ia+i*8+1]*k;
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
		printf("%d %d %d %d\n",suma[x[i]],sumb[x[i]],sumc[x[i]],sumd[x[i]]);
	return 0;
}