對遞歸進行優化--記憶化
遞歸可以很方便的解決很多問題，讓程序變得很簡潔。
但是，在遞歸解決問題的過程成，有時候會有很多重複計算,使得計算量很大，耗時很長。
比如，使用遞歸求斐波那契數列。
如果用普通的遞歸來解，當n值很大時，時間會很長而超時。
如圖，當n等於45時，需要運行5秒才能求出結果。
分析一下，會是什麼原因導致需要計算這麼長時間呢？
根據斐波那契數列的遞推公式：
fn=f(n-1)+f(n-2)
f(n-1)=f(n-2)+f(n-3)
f(n-2)=f(n-3)+f(n-4);
以上3行合併一下：
fn=( f(n-2)+f(n-3) ) + ( f(n-3)+f(n-4) )
可以看到， f(n-3)被重複計算了。
再看一下斐波那契數列的運行時圖：
可以看到，有大量的重複計算。
有沒有什麼辦法可以優化呢？
如果我們能記錄一些狀態的中間結果，在需要的時候直接讀取結果，就可以減少重複計算。
這個思想叫着記憶化。
對於斐波那契數列，我們可以把計算完 n=2,n=3時...的值保存在數組中，下次需要使用他們來計算其他n值時，從數組中取出來，而不去再計算。
按照這個思想，代碼修改爲：
可以看到，經過記憶化優化後的程序，運行速度快了很多。
下面我們再看個例子。
數字三角形問題
5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
如上圖所示，第一行有一個數字5，表示數字三角形共有5層。
後面5行爲各層的數字,組成一個數字三角形。
給出一個三角形，從三角形的頂點，只能走左下方或者右下方，然後把所遍歷的數字加起來，求出最大的值。
比如對於上圖來說，答案就是30(7+3+8+7+5)。
現給定一個任意的數字三角形，輸出最大的值。
我們從頂點(也就是第一行第一列)開始走，其最大值爲頂點的值加上從他下面兩個數開始，走到底邊的最大值中，更大的那個，由此，我們把問題分解成求第一行的數字到底邊的最大值，到求第二行的數字到底邊的最大值，這就形成了遞歸。
而遞歸的終止條件是到了最後一行，其值就是它本身。
遞歸的代碼如下：
package test;
import java.util.Scanner;
public class Hello {
static int d[][] = new int[100][100]; // 最多100層
static int n;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt(); // 總共有幾層
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++)
d[i][j] = sc.nextInt();
int m = MaxSum(1, 1);
System.out.println("最大值："+m);
}
static int MaxSum(int l, int r) {
if (l == n)
return d[l][r];
else
return Math.max(MaxSum(l + 1, r), MaxSum(l + 1, r + 1)) + d[l][r];
}
}樣例輸入輸出：
輸入：
6
2
96 30
83 52 60
21 65 44 61
8 79 50 41 21
61 41 50 38 79 10
輸出
375
如果通過記憶化進行優化呢？
思考一下........
....................................................................................................................
public class Hello {
static int d[][] = new int[100][100]; // 最多100層
static int max[][]= new int[100][100]; //保存記憶
static int n;
public static void main(String[] args) {
Scanner sc = new Scanner(System.in);
n = sc.nextInt(); // 總共有幾層
for (int i = 1; i <= n; i++)
for (int j = 1; j <= i; j++)
d[i][j] = sc.nextInt();
int m = MaxSum(1, 1);
System.out.println("最大值："+m);
}
static int MaxSum(int l, int r) {
if (l == n)
return d[l][r];
else {
if(max[l][r]!=0) {
return max[l][r];
}else {
int x=Math.max(MaxSum(l + 1, r), MaxSum(l + 1, r + 1)) + d[l][r];
max[l][r]=x;
return x;
}
}
}
}源碼、更多資深講師相關課程資料、學習筆記請入羣后向管理員免費獲取，更有專業知識答疑解惑。入羣即送價值499元在線課程一份。
QQ羣號：560819979
敲門磚（驗證信息）：高山流水