《具體數學》通過三個例子來講遞歸,分別是:Hanoi Tower(漢諾塔)、Lines in the Plane(平行中的直線)、Josephus Circle(約瑟夫環問題)
這三個例子一直被數學家們反覆研究；已知解法都使用遞歸，大問題化爲小問題；都可以用計算機程序來求解；
我最近因爲考試忙的其實也沒看幾頁，就先把看的寫出來吧;
1.1 漢諾塔
首先來看被稱爲“漢諾塔”（Hanoi Tower）的智力問題。該問題是法國數學家Edouard Lucas在1883年提出的。給定一個由八個大小不同的圓盤組成的塔，最初圓盤按尺寸遞減的次序自底而上地堆放到三根杆中的一根上。類似的問題是婆羅門塔（64個盤子，一直挪到世界末日……，後面我們有相關的分析）
目標：把整個塔從一根杆移到另一根杆上。
規則：
（1）One time, one disk;
（2）No larger disks on smaller ones, Anytime.
直觀上很難看出這個問題的解法，但是我們以前在C語言的遞歸部分已經遇到過，可以確信它有一個解.(結尾會給出c語言的代碼片段)
書上寫的解法其實已經很清楚了，目的是讓我們求Tn是在Lucas規則下n個盤從一根杆移到另一根杆的最小移動次數，當n=1時顯然T1=1,T2=3,這些都是小的問題，我們也可以通過小的問題去考慮大的，我們如何能轉移一個大的塔？3個盤的實驗表明要想獲勝就是把頂上的2個移到中間，然後移第3個盤，再把另外的2個盤放上去，再擴展到n個盤一般移動的思路：首先把n-1個最小的盤轉移到一個不同的杆(Tn-1次移動),然後移動最大的盤(一次移動),最後再把n-1個最小盤上的轉移回最大的盤上(Tn-1次移動),所以，至多用2Tn-1+1次移動能轉移n個盤(n>0)
Tn<=2Tn-1+1(n>0)
注意紅色的部分,此公式用了'<='而不是'=',這本書真的是很嚴謹啊，因爲我們的構造僅證明2Tn-1+1次移動是充分的,並未證明2Tn-1+1次移動是必要的。其實，沒有很好的方法去證明它是必要的.在某個時刻我們一定要移動最大的盤，當我們移動最大盤時，n-1個最小的盤一定在一根杆上，且至少用Tn-1次移動把它們放到那裏，我們假如不注意，則移動最大盤等等次數可能大於一次。但最後一次移動最大盤之後，我們一定要把n-1個最小盤轉移回最大盤上，還要Tn-1次移動。因此Tn>=2Tn-1+1(n>0)
所以漢諾塔遞歸公式爲:
T0=0
Tn=2Tn-1+1(n>0)
它給定一個邊界值以及根據較早值表達一般值一個方程。我們有時把這個一般方程單獨稱爲一個遞歸，但其實還是要一個邊界值。
怎麼去理解 遞歸呢，先去猜測一個正確的解，然後由這個解推出通解，找出規律，最後去證明規律的普遍性，數學歸納法是證明某個命題關於（對所有n>=n0)成立的一種一般方法，其實數學歸納法完美爲遞歸作了準備。書上有一段是真的很重要的，在各種應用提出的許多問題中，漢諾塔的遞歸具有典型性，在找出像Tn那樣表達式，我們經歷三個階段:
1:看看小的情形，這能使我們更深入的瞭解問題
2:求出和證明關心量的一個數學表達式，它使我們能就給定的量來計算任何n的Tn
3：求出和證明我們的數學表達式的一個閉形式
其實根據我們高中所學的知識，我們可以對Tn進行簡化的：
T0+1=1;
Tn+1=2Tn-1+2,Un=2Un-1;
等比數列
漢諾塔C語言程序片段:#include <stdio.h>
int hanoiSolver(int peg1, int peg2, int peg3, int dCount)
{
int mCount = 0;
if (dCount > 1) {
mCount += hanoiSolver(peg1, peg3, peg2, dCount - 1);
printf("Move the top disk : peg %d -> peg %d\n", peg1, peg3);
mCount += hanoiSolver(peg2, peg1, peg3, dCount - 1);
} else {
printf("Move the top disk : peg %d -> peg %d\n", peg1, peg3);
}
return ++mCount;
}
下一篇估計得有段時間去寫了，天天考試，下一篇是打算寫Lines in the Plane(平行中的直線)問題
總結:由於最近一直忙於複習考試，看的很少，但已經看完第一章了,課後習題還沒寫(感覺是在被教怎麼做人了)，真的寫的很精彩，對於有些問題感到很神奇，對於很多解題思路很方法感覺還是有點吃力去理解，頁邊的塗鴉也很嗨啊，大師的公式推導，絕妙方法，真的讓我醉了，醉的不行了，最後附上我在微博上看到的一句，我覺得很有道理:
算法和彙編，這纔是計算機科學。低頭製造垃圾簡直暴殄天物。。。。。