模擬賽1sol

2月16日簡要題解

light

這個題作爲第一題是難了一點 = =。

下文中的“有解”表示“先手必勝”，首先說一個結論：

• 如果 $N=2^k​$，那麼對於任意的初始局面是有解的。
• 否則，並不是每一種局面都是先手必勝的。

我們簡單證明一下第二個結論，假設 $N$ 是一個奇數，假設初始時存在相鄰兩個位置 $(x, x+1)$ 的開關狀態不一樣。那麼每次無論指定怎樣的位置集合，總存在相鄰兩個位置同時被操作或者不被操作，我們讓這兩個位置作用到 $(x, x+1)$ 上，那麼它們的開關狀態仍然保持不同。如果 $N=2^k\cdot s$ ，其中 $s$ 是一個大於 1 的奇數時的證明類似。

因爲我們保證輸入有解，總可以把他歸約到 $2^k$ 的情形，下面討論 $N=2^k$ 時候的情形。

我們遞歸地構造 01 矩陣：

• $N=1$ 時候：

1

• $N=2$ 時候：

1 0
1 1

• $N=4$ 時候：

1 0 0 0
1 1 0 0
1 0 1 0
1 1 1 1

• $N=8$ 時候：

1 0 0 0 0 0 0 0
1 1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0 0
1 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 1 0 0 0
1 1 0 0 1 1 0 0
1 0 1 0 1 0 1 0
1 1 1 1 1 1 1 1

以此類推，讀者很容易發現他的規律：對構造好的 $N=2^k$ 的矩陣，把它複製 3 份放在左上、左下和右下，右上角以 0 填充。

這個矩陣很有特點，它有兩個很關鍵的性質：

• 把每一行視爲一個 01 向量，那麼它是一個線性基。
• 令 $x_i$ 表示第 i 行的向量，令 $x'_i$ 表示將 $x_i$ 循環移位若干位的向量，那麼 $x_i \oplus x'_i$ 一定可以用 $[i+1, N]$ 行的向量拼出來。
  • 舉個例子，考慮：11110000 和它的循環移位 01111000，它們異或之後的結果爲 10001000，恰好是矩陣下一行。

讀者不難證明自行以上兩個性質。通過這兩個性質我們可以馬上得到一個答案的下界：對於給定的 01 串，我們可以用線性基的知識找到它是哪幾行拼出來的。假設最高的一行爲第 $i$ 行，那麼答案爲 $N-i+1$ ：先手輸入第 $i$ 行的向量，無論後手如何應對，這一輪結束之後第 $i$ 行從 01 串的線性表示中消失，並且只會引入更低行的新向量。重複這個過程即可。

容易證明 $N-i+1$ 也是答案的上界，從而就是答案，這一部分工作留給讀者完成。

所以最後的算法即爲模擬一下就好了，代碼量符合第一題的標準。

count

看起來大家都會啊。。。你們互相交流一下吧 QwQ

calc

首先組合意義轉化一下，對於給定的 $k$, $f_k(n)$ 表示這樣一個值：

• 想象你有無限多個面值爲 $1, k, k^2, \dots, k^x, \dots$ 的硬幣，那麼 $f_k(n)$ 爲本質不同的，用這些硬幣湊出 $kn$ 的方案數。

解釋：考慮遞歸式：
$f_k(n) = \sum_{i=0}^{n} f_k\left(\left\lfloor \frac{i}{k} \right\rfloor\right)$
要湊出 $kn$，我們枚舉面值 1 用了 $k(n-i)$ 個，那麼剩下要湊的是 $ki$ 且最小可用的面值是 $k$，這樣相當於用 $1, k, k^2,\dots$ 去湊 $i$ ，這個方案數恰好爲 $f_k([i/k])$ 。

問題的後一部分參見 BZOJ 4588，因爲允許在本地跑，複雜度可以高一點。