差分約束系統

差分約束系統

Tags： 圖論，不等式

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水題（bzoj 1731）

• 裸差分約束，n頭牛【1，n】，(ml條這樣的信息)對於兩頭有好感的牛距離不超過w,(md條這樣的信息)對於兩頭有反感的牛距離至少w,且多頭牛可以共享一個點，求最後一頭牛和第一頭牛距離最大是多少

• 按要求建圖，使用bellman或者spfa

/*
4 2 1
1 3 10
2 4 20
2 3 3

Sample Output
27
四隻牛分別在0，7，10，27.

*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std; 
struct edge{
	int from,cost,to;
}e[100000];
int k=0; 
void build(int x,int y,int w){
	//e[k].from=x,e[k].to=y,e[k].cost=w;
	e[k]=edge{x,w,y};
	k++;
}
int d[1005];
int n;
const int inf=0x7f7f7f7f; 
bool bellman(int s){
	memset(d,0x7f,sizeof(d));
	d[s]=0;
	bool update=0;
	
	for(int i=1;i<=n;i++){
		update=0;
		
		for(int j=0;j<k;j++){
			edge& es=e[j];
			if(es.from!=inf&&d[es.from]+es.cost<d[es.to]){
				d[es.to]=d[es.from]+es.cost;
				update=1;
				if(i==n)return 0;
			}
		}
		if(!update)return 1;
	}
	return 1;
} 
int main(){
	int ml,md;
	scanf("%d %d %d",&n,&ml,&md);
	int x,y,w;
	while(ml--){
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);//y-x<=w;建有向邊x->y,
		build(x,y,w);   
	}
	while(md--){
		scanf("%d %d %d",&x,&y,&w);//y-x>=w;x-y<=(-w)
		build(y,x,-w);
	}
	for(int i=2;i<n;i++)build(i,i-1,0);//多頭牛共享一個點，建0邊
	
	if(!bellman(1)){
		printf("%d",-1);
	}
	else{
		if(d[n]==inf)printf("%d",-2);
		else {
			for(int i=1;i<=n;i++){
				printf("%d ",d[i]);//打印可行解，題目答案即爲d[n];
			}                      //這裏沒有題目要求輸出
		}
	}
	return 0;
}

最短路算法

• 差分約束系統一般使用bellman和spfa求最短路，也可以用來求最長路徑，只需將鬆弛操作從$<$改成$>$；

差分約束系統

• 條件：每個不等式只含兩個變量，且係數爲1和-1.

• 不等式建邊：a-b<=c（一定要小於等於），a<=b+c,to<=from+cost,建立b->a的有向邊

• 最大值最小值的理解：差分約束系統是將不等式合併成$不等式約束下求首位距離最大值\\a-b&lt;=c1\\a-b&lt;=c2\\a-b&lt;=c3\\......\\max(a-b)=min(c1,c2,...)\\相當於最短路徑$---------------------------------------------------------------------------$不等式約束下求首位距離最小值\\a-b&gt;=c1\\a-b&gt;=c2\\a-b&gt;=c3\\......\\min(a-b)=max(c1,c2,...)\\相當於最長路徑$,

• 不等式標準化：(此處求兩個點距離的最大值，如果求最小值則轉化爲$&gt;=$求最長路徑)

a-b>=c  ->   b-a<=-c;
a-b<c   ->   a-b<=c-1;
a-b>c   ->   b-a<-c   ->   b-a<=-c-1;
a-b=c   ->   a-b<=c&&a-b>=c

• 可行解：最大值（最小值）：有負（正）環時距離可以無限小（大），不可達時（兩個點之間沒有約束關係）距離無限大（小），有解的情況下d[i]爲每個點對應的位置（一組可行解）

差分約束詳解及金典模型

• 線性約束
• 區間約束的（d[i]表示（0，i）區間）
• 位置條件約束（二分+差分約束）

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