NBUT1225 NEW RDSP MODE I(快速冪，規律)：

G - NEW RDSP MODE I

NBUT - 1225

題意：

​ 給你三個數$n,$$m$,$x$。代表剛開始有$1 到n$剛好n個數，現在讓你將序列變換$m$次，問你變換$m$次之後前$x$個的值；

​ 序列每一次變換的規則：將其中奇數位置的數取出，按順序放在最後面。

思路：

​ 因爲變換的規則比較簡單，所以我們可以根據這次位置 計算出 變換前的位置，向上推導$m​$次即可，那麼我們可以先寫出變換公式。

假設位置x變換前在位置last，那麼我們不難推出下列公式：

• 如果 $x<=\lfloor n/2 \rfloor​$ 則有 $last=2*x​$

• 否則 則有$last=2*(x-\lfloor n/2 \rfloor)-1$

這樣規律顯示的不夠清楚，我們可以這樣寫

• 當n爲偶數時候:

  • 如果$x<=n​$，則有 $last=2*x​$.
  • 否則$last=2*(x-n/2)-1=2*x-n-1​$

• 當n爲奇數的時候:

  • 如果$x<=(n+1)/2$, 則有$last=2*x$
  • 否則$last=2*(x-(n+1)/2)-1$ 即 $last=2*x-n$

​ 那麼我們可以將位置$x$向上推導$m$次，最後得到的位置就是要求的位置$x$的值。但是$m$太大，這種根本不可行，我們現在試圖找一個更好的公式。

​ 我們有沒有發現一個規律，**當$n​$爲奇數的時候 $last​$ 可以表示爲 $last=2*x\ \%n​$ ,(如果$last=0​$表示last=n)；**那麼我們向上求$m​$次，則乘以$2^m​$取餘$n​$即可 (快速冪不難做到這一點)。但是當$n​$位偶數的時候怎麼辦呢？我們發現當$n​$位偶數時$n個數​$的結果與$n+1​$的結果一模一樣。

因爲第$n+1​$個數每次都是最後一個奇數，他總會放在最後面，不影響前$n​$個數的相對順序

​ 所以我們當$n​$爲偶數時，我們可以把$n+1​$變爲奇數，然後位置$x​$的轉換$m​$次前的位置爲 $x*2^m$ 。

所以程序思想分下面三步：

• 如果$n$爲偶數就讓$n=n+1$
• 轉換$m$次後位置$x$的值爲$val=x*2^m$
• 如果$val$爲$0$則輸出$n$，否則輸出$val$。

代碼：

​

#include<queue>
#include<iostream>
#include<string.h>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define mset(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
using namespace std;
typedef pair<int,int> P;
typedef long long ll;
const int maxn=2e4+100;
int t;
ll quickPow(ll a,ll b,ll mod){
    ll ans=1ll;
    while(b){
        if(b&1) ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    ll n,m,x,ans;
    while(cin>>n>>m>>x){
       if(n%2==0)   n++;
       ll mid=quickPow(2,m,n);
       for(ll i=1;i<=x;++i){
        if(i>1)
            cout<<" ";
         ans=i*mid%n;
         if(ans==0)
            cout<<n;
         else
            cout<<ans;
       }
       puts("");
    }
    return 0;
}