算法1：遞歸的入門介紹

用一隻海龜來引入“遞歸”，是有一些滑稽，但也沒有關係。可能你更喜歡的是海龜而不是無窮的遞歸調用，那遞歸長什麼樣呢？

（一）遞歸的樣子

各種表現，比如這些樣子：

1. 和尚講故事

   從前有座山，山裏有座廟，廟裏有個老和尚，老和尚給小和尚講故事，講的是從前有座山。。。。

2. 沙灘是怎麼形成的

   A：沙堆是怎麼形成的？
   B：沙堆是一個沙堆加上一粒沙。
   A：那這一個沙堆是怎麼形成的？
   B：這一個沙堆是一個沙堆加上一粒沙。
   A：...

3. 嚇得我
   

4. 遞歸函數

   f(x) = g(f(x-1))

5. 巧妙的衣服
   

6. 謠言成真，那還算造謠嗎？

   上海一男子因造謠稱自己因造謠而被拘留15日而被拘留15日。

7. 洋蔥的構成

   一個洋蔥就是帶着一層洋蔥皮的洋蔥。

8. 轉發通知
   

這些例子可以看到遞歸的影子，可以感受到遞歸的一個特點就是“嵌套”，一層套一層，層層新。正如我說的，一定要用自己的話突出重點地表達你的理解，不要完整或完善，那麼，遞歸是什麼？

（二）遞歸是什麼？

遞歸就是調用自己，調用自己的就是遞歸，就這麼簡單。“自己”是什麼？“自己”是一個遞歸結構或算法。

爲什麼能夠調用自己？

之所以能調用自己，是因爲子問題也能用原問題的解決辦法。遞歸的設計，就是把問題分解成更小的問題，而且更小的問題也能用原問題的解決辦法。在問題規模足夠小的時候，把它解決掉，再層層返回，層層組合。

如果非要說一個偉大的思想來突顯遞歸的nb，那就是以退爲進，在遇到問題很複雜你解決不了的情況下，退一步，如果退一步還解決不了，就再退一步--沒有什麼問題是退一步解決不了的，如果有，那就退兩步。在退到足夠簡單的情況下，把它解決，再回歸。這個是不是很厲害？

當然你也可以用數學歸納法來考證遞歸的偉大，但我覺得大可不必，更多情況下，遞歸只是解決問題的小工具。

那麼，這個小工具怎麼用起來？走你！

（三）使用遞歸

使用遞歸時，有兩個要點可以考慮，一是如何調用自己，包括自己返回後怎麼處理，二是在什麼時候結束遞歸。

說多無謂，實戰出感悟。不考慮性能，看幾個問題的遞歸解決吧。

問題1：輸入數字n，打印出1到n的所有整數。

主體：要打印1到n，那先打印1到n-1，再打印一個n就可以了。這個就是主體，只考慮n跟n-1。
結束：在n爲1時打印1，並結束遞歸。

代碼示例：

void pr(int n) {
    if (n == 1) {
        printf("1\n");
        return;
    }
    pr(n-1);
    printf("%d\n", n);
}

效果：

問題2：輸出“我當然知道 我知道 我知道 我知道 ...我是個sb 這件事 這件事...這件事”，輸入n來控制次數。

主體：把“我當然知道”放在遞歸函數外，因爲它不符合同構的原則。先輸出“我知道”，再遞歸到下一層即可。
結束：在遞減到0時，結束遞歸。
收尾：在遞歸返回後，輸出“這件事”。

代碼示例：

#include <stdio.h>

void pr(int n) {
    if (n == 0) {
        printf("[我是sb]");
        return;
    }
    printf("我知道[");
    pr(n-1);
    printf("這件事]");
}

int main(int argc, char *argv[])
{
    printf("我當然知道{");
    pr(10);
    printf("}\n");
    return 0;
}

效果：

問題3：求二叉樹的高度（最長路徑）。

主體：左子樹與右子樹的高度的最大值，加1就是當前樹的高度。
結束：沒有子樹了。

代碼示例：

int treeHeight(struct TreeNode* root) {
    if (!root) return 0;
    int left = treeHeight(root->left);
    int right = treeHeight(root->right);
    return MAX(left, right) + 1;
}

問題4：求數組中的最大值與最小值。

演示代碼：

#include <iostream>
using namespace std;

template<typename T>
void max_min( T a[], int low, int high, T & max, T & min)
{
    if ( low == high )  // 只有一個元素不再劃分
    {
        max = min = a[low];
        return;
    }
    else if ( low == high -1 )  // 只有兩上元素不再劃分
    {
        if ( a[low] < a[high] )
        {
            max = a[high];
            min = a[low];
        }
        else
        {
            max = a[low];
            min = a[high];
        }
        return;
    }

    int mid = (low + high) / 2;
    T  max_another;
    T  min_another;
    max_min( a, low, mid, max, min );  
    max_min( a, mid+1, high, max_another, min_another );

    if ( max < max_another )
        max = max_another;
    if ( min > min_another )
        min = min_another;
}

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
    double a[5] = {23.23, 23.45, .3, -89.3, -2.1};
    double max, min;
    max_min<double>( a, 0, 4, max, min );
    cout << "max: " << max << " min: " << min << endl;

    return 1;
}

最後，再提一下遞歸的深度。

每次遞歸調用都意味着部分數值壓入棧中（比如系統維護的下壓棧），這是跟迭代的區別。在迭代中每次循環結束時所有局部變量都獲得釋放，而遞歸卻會不斷累計，所以使用遞歸算法必須考慮它的深度，考慮是否會造成棧溢出，與及對效率造成的影響。

另外，每一次遞歸調用，問題的規模都應該有所減少，並最終達到終止條件的要求，從而結束遞歸調用。

至此，遞歸的入門介紹完畢了。

總結一下，本文介紹了遞歸的表現、遞歸的理解與設計，最後舉了幾個例子並用遞歸的思路來實現。遞歸是一個重要的思考問題的思路，希望能幫到你。

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