[Note] 擬陣

Reference

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本來打算啃論文的結果被我鴿啦
論文的話可以參考 WC 2007 2015 2018

爲了方便大家（我）看得懂而且我趕時間
我就簡單一點講吧。所以會很不嚴謹

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有限擬陣^Reference

一個有限擬陣 $\rm M=(S,I)$ 滿足：
$\rm S$ 是有限集； $\rm S$ 的某些子集組成有限非空集 $\rm I$ ，且這些子集被稱爲獨立集。
遺傳性： $\rm I$ 裏面的某個集合的子集必須也屬於 $\rm I$ 。（所以 $\varnothing\in\rm I$ 。)
交換性： $\forall\rm A,B\in\rm I$ ， $\rm |B|>|A|$ ，一定有： $\exists\rm v\in\rm B-A$ 滿足 $\rm A\cup\{v\}\in\rm I$
交換性換句話說就是：
任意一個獨立集一定是至少一個大小最大的獨立集（即極大獨立集 or 擬陣的基）的子集。

所以實際上你也可以把 $\rm I$ 看作是多個極大獨立集的所有子集構成的集合？

舉個例子，均勻擬陣 $\rm M=(S,I)$
${\rm S}=something$ ， ${\rm I}=\{{\rm A\subseteq S\;:\;|A|}\le k\}$ 其中 $k$ 是常數。

再舉個例子：圖擬陣 $\rm M=(S,I)$
$\rm S$ 爲無向圖 $\rm G$ 的邊集。（ $\rm G$ 是有向圖的話大概率就沒有這樣的擬陣啦？）
所有的獨立集無環。（換句話說就是：所有大小最大的獨立集都是生成森林）

再再舉個栗子：匹配擬陣 $\rm M=(V,I)$
$\rm V$ 是無向圖 $\rm G=(V,E)$ 的點集；
所有的獨立集都滿足存在一個匹配可以覆蓋其中的所有點。

用增廣路可以證明匹配擬陣的交換性；
利用擬陣並可以簡單地證明二分圖匹配擬陣的交換性。
留作習題喜提

圖擬陣裏面，帶環的都是非獨立集。
但是單個環還是有點意思的，可以下個定義啊。
極小非獨立集：去掉其中的任意一個元素都可以形成一個獨立集。

你可以發現任意一個擬陣所有基大小相同，但是所有環大小不一定相同。

另外提一下基交換定理
基 $\rm A,B$ 。爲了方便看懂記 $\rm C=A\cap B$
你可以把 $\rm A$ （或者 $\rm B$ ） 減去 $\rm A\backslash C$ （或者 $\rm B\backslash C$ ） 的任意一個子集
然後一定能夠加上 $\rm B\backslash C$ （或者 $\rm A\backslash C$ ） 的某一個子集形成一個獨立集。
證明：利用擬陣的交換性公理

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擬陣的秩 & 秩函數

擬陣的秩 = 擬陣基的大小
對於擬陣 $\rm M=(S,I)$ ，任意一個 $\rm U\subset S$ ，有：
秩函數 $r(\rm U)$ 表示 $\rm U$ 中極大獨立集（這裏是指 $\rm U$ 裏面大小最大的那個獨立集）的大小。
性質：
有界性
單調性
次模性
前兩個性質都很顯然以至於我懶得打
第三個性質
$\forall \rm A,B\subset S,\;r(A\cup B)+r(A\cap B)=r(A)+r(B)$
看起來有點像 $(a,b)[a,b]=ab$ 所以也許很好記、
怎麼證明呢？
設 $\rm A\cap B,A,B,A\cup B$ 裏面的極大獨立集分別爲 $\rm Q,W,E,R$
然後先準備兩個字母 $\rm T$ 和 $\rm Y$
令 $\rm Q+T=W$
令 $\rm Q+Y=E$
有 $\rm Q+T+Y=R$
有 $\rm Q+R=Q+T+Q+Y=W+E$
好啦。
（至於看起來爲什麼會有點像 $(a,b)[a,b]=ab$ 那當然是有原因的啦？自行思考）
秩函數可以推出擬陣公理，留做習題。

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加權擬陣

就是加權啦，給每一個獨立子集 $A$ 附加權值 $\omega(A)=\sum\limits_{v\in A}\omega(v)$

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擬陣上的最優化問題：最大權獨立子集

看起來是不是很熟悉鴨
求加權擬陣的最大權獨立子集？貪心即可。
把 $\rm S$ 裏面的元素從大到小排
按照排序後的順序逐個考慮 $\rm S$ 裏面的每個元素，只要加上之後還是獨立集就加上。
最後得到的集合一定是最優的，而且是擬陣的一個基。（當然前提是元素非負？）
會得到基是顯然的。
由此，加上一開始做的排序：會得到最優解自然也是顯然的。

然後根據這個一般方法，可以得到：
最小生成樹。
二分圖匹配。
etc
對於新的問題，可以從遺傳性入手判斷它是不是一個擬陣問題，然後試着證明交換性
然後就可以用類似的方法解決了。典型例子是最小生成環套樹森林。

剩下的就先咕啦。。