線性代數中各種矩陣的簡介

這篇文章主要介紹了線性代數的矩陣，僅作筆記。

方陣：行數列數相同的矩陣

對稱矩陣：$A=A^T$的矩陣，矩陣等於它自己的轉置矩陣

反對稱矩陣：$A=-A^T$

埃爾米特矩陣（Hermitian matrix）：$A=A^*$，矩陣等於它自己的共軛轉置矩陣

斜埃爾米特矩陣：反埃爾米特矩陣，$A = −A^*$

正定矩陣：$Q(x)=x^T A x$，任意非零向量$x$，若滿足$Q(x)>0$，則$A$爲正定矩陣

半正定矩陣：同上，$Q(x) \geq 0$，則A爲半正定矩陣

半負定矩陣：同上，$Q(x) \leq 0$，則A爲半負定矩陣

不定矩陣：若A既不是半正定矩陣，也不是半負定矩陣，則A爲不定矩陣

上三角矩陣：矩陣對角線左下方係數全爲0

下三角矩陣：矩陣對角線右上方係數全爲0

三對角矩陣：非零係數在主對角線上，也在比主對角線低和高一行的對角線上。

單位矩陣：$I$, 矩陣對角線元素爲1，其餘爲0

高斯矩陣：首先滿足單位矩陣，其次某列係數非0

逆矩陣：反矩陣，$AB=I$，A是可逆的，B是A的逆矩陣

伴隨矩陣：A關於第i行第j列的餘子式，是去掉A的第i行第j列之後得到的(n − 1)×(n − 1)矩陣的行列式。

階梯型矩陣：從上至下，$A_{ii}$之前的元素爲0

酉矩陣：$UU^*=U^*U=I$，$U^*$爲U矩陣的共軛轉置，則U爲酉矩陣

對角矩陣：只有矩陣中的對角線存在值，其他地方爲0

空矩陣：行數或列數爲零的矩陣

分塊矩陣：是指一個大矩陣分割成“矩陣的矩陣“

正交矩陣：滿足方陣，$Q^T=Q^{-1}$，$Q^TQ=QQ^T=I$，正交矩陣的行列式爲1

旋轉矩陣：在乘以一個向量的時候改變向量的方向但不改變大小的效果並保持了手性的矩陣

正規矩陣：$A^{*}A=AA^*$，$A^*$爲$A$的共軛矩陣

共軛矩陣：$A^*=(\bar{A})^T$，$\bar{A}$表示矩陣的複共軛

奇異矩陣：滿足方陣，矩陣的行列式是否等於0，若等於0，稱矩陣A爲奇異矩陣

非奇異矩陣：同上，若不等於0，稱矩陣A爲非奇異矩陣。

稀疏矩陣：若數值爲0的元素數目遠遠多於非0元素的數目，並且非0元素分佈沒有規律時

稠密矩陣：與上相反，若非0元素數目佔大多數時

增廣矩陣：擴增矩陣，在係數矩陣的右邊添上一列，這一列是線性方程組的等號右邊的值

係數矩陣：將方程組的係數組成矩陣來計算方程的解

相似矩陣：判斷特徵值、行列式、跡、秩是否相等，只作爲判斷矩陣是否相似的必要條件，而非充分條件。