挑戰程序設計競賽:高斯消元法

題目大意

求解線性方程組，比如:

的解。

解題思路

使用高斯消元法，步驟模擬如下。
(1) 合二爲一: 將係數矩陣$A$與結果向量$b$合併得到$B$:
$A = \begin{bmatrix} 1 & 1& 2 \\ 1& -2& -1\\ 0 &1 &-2 \end{bmatrix} b = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} B = \begin{bmatrix} 1 & 1& 2 & 1\\ 1& -2& -1&0\\ 0 &1 &-2 &-2 \end{bmatrix}$
(2) 以如下策略消元, (假設有$n$個變元):

• 當消去第$i$個元時，選取大於等於$i$行中第$i$個變元係數絕對值最大的一行作爲基準。如果最大絕對值爲0，則無解或有無窮解.
• 將第$i$行與基準行交換。
• 將第$i$行歸一化。
• 使用歸一化後的第$i$行按比例關係消去其他行的第$i$個變元的係數。
• $i$加一，重複上述過程直到全部變元消去。

(3)模擬如下:

代碼

#include<iostream>
#include<vector>
using namespace std;

typedef vector<double> vec;
typedef vector<vec> mat;

double abs(double x)
{
    if(x < 0)
        return -x;
    return x;
}
vec gauss_jordan(const mat &A, const vec &b)
{
    int n = A.size();
    mat B(n, vec(n+1));

    // (1) -----------合併-------------
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<n; j++)
            B[i][j] = A[i][j];
    for(int i=0; i<n; i++)
        B[i][n] = b[i];

    // --------------------------------

    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        int base_index = i;
        // 前i行已經固定，因此從j>=i行中選
        for(int j=i+1; j<n; j++)
            if(abs(B[j][i]) > abs(B[base_index][i]))
                base_index = j;

        // 無解或無窮解
        if(abs(B[base_index][i]) < 10e-4) return vec();
        swap(B[i], B[base_index]);

        // -----------規範化-------------
        int tmp = B[i][i]; 
        for(int j=i; j<n+1; j++)
            B[i][j] /= tmp;
		//----------------------------------

        // 消去其他行
        for(int j=0; j<n; j++)
        {
            if(j!=i)
            {
                int tmp = B[j][i];
                for(int k=i; k<n+1; k++)
                    B[j][k] -= tmp * B[i][k];
            }
        }
    }
    vec x(n);
    for(int i=0; i<n; i++)
        x[i] = B[i][n];
    return x;
}
int main()
{
    mat A(3, vec(3));
    vec b(3);
    for(int i=0; i<3; i++)
        for(int j=0; j<3; j++)
            cin >> A[i][j];
    for(int i=0; i<3; i++)
        cin >> b[i];
    vec x(3);
    x = gauss_jordan(A, b);
    for(int i=0; i<3; i++)
        cout << x[i] << endl;
    return 0;
}