數學: n階微分方程的通解爲什麼含有n個獨立任意常數

前言:

學習高數多年，昨天被朋友問到n階微分方程的通解爲什麼含有n個獨立任意常數，一時間倒也不知道如何回答，發現似乎自己從來沒注意過這個問題，因此回爐重造一下，倒是有一些新的收穫。

一、定義

要解決n階微分方程的通解爲什麼含有n個獨立任意常數這個問題，先來回顧一些定義：

1、微分方程

含有未知函數的導函數的方程稱爲微分方程。如下圖所示:

其中，$y$是關於自變量$x$的函數。特別的，如果$y$只是一個變量$x$的函數，則這類方程稱爲常微分方程。上圖就是一個常微分方程。

2、微分方程的階

微分方程中出現的導函數的最高階數，叫微分方程的階, 如：
$x^3 y^{(3)}x^2y^{''} = 3 x$
是三階微分方程。一般的:

3、微分方程通解

微分方程通解有如下定義:

好了，觀察該定義，我們回到主題：

• (1): 爲什麼是$n$個任意常數？
• (2): 爲什麼這幾個任意常數是獨立的？

要回答這兩個問題，我們需要引入一些特別觀點。

二、求導是一種線性函數

對函數$f$求導，即求導的$D$算子作用於$f$上，而對$D$算子，有
$D(x+y)=D(x)+D(y), D(cx)=cD(x)$
因此$D$算子是線性函數，同理有
$D^n(x+y)=D^n(x)+D^n(y), D^n(cx)=cD^n(x)$
因此$D^n$算子也是線性函數，因此不同階導數的$D$算子組合$\mathcal{L}$是一種線性函數

$\mathcal{L}=a_0D^0+ a_1D^1+a_2D^2+ ... + a_nD^n$

三、微分方程與L

爲了簡單期間，我們這裏只討論線性微分方程。

對於任意的齊次線性微分方程，我們都可以找到對應的$\mathcal{L}$, 並將其表示爲$\mathcal{L}(y)=0$。比如$x^2y''-xy'+y=0$, 我們可以有:
$\mathcal{L}=x^2D^2-xD^1+1D^0$

由於$\mathcal{L}$是線性函數，這樣要求解$y$, 就可以放在線性空間中進行討論。這樣微分方程的通解就對應了$\mathcal{L}(y)=0$的解空間。經過高等代數的討論（筆者現在也看不懂），$y$存在的解空間是$n$維的，因此由$n$個常數決定，而不同維度的空間座標一定是獨立的。

如果是非齊次線性微分方程$\mathcal{L}(y)=f(x)$, 從矩陣角度理解，其實也就相當於從解$Ax=0$到解$Ax=b$的過渡，也是同樣的結論。

這樣我們就能理解【n階線性微分方程的通解爲什麼含有n個獨立任意常數】了。

而在筆者和朋友的討論過程中，朋友給出了一個很精闢的直觀理解:
【n階微分方程其實等價於一個n元線性微分方程組，相當於給了n維空間一個質點速度和位移滿足的關係，需要確定的只是初始位置，是個n維向量】 本質上也就是這個意思。

四、結語

本文純屬自己理解，很不嚴謹，但是思想是沒問題的。核心思想就是:
【求導，就是一個線性函數】 所以最後$D，D^2, ..., D^n$的組合$\mathcal{L}$也是線性函數，而線性微分方程可以等價表示爲$\mathcal{L(y)}$，這就可以把解線性微分方程放到線性函數的範疇裏面去討論。最後就能理解爲什麼【n階線性微分方程的通解爲什麼含有n個獨立任意常數】了。

五、遺憾

筆者不是數學專業，只是恰巧一個朋友問到這個問題，因此查了查資料，結合自己對線性代數的理解寫下這篇文章，只是說明了【n階線性微分方程的通解爲什麼含有n個獨立任意常數】。如果把線性去掉， 就不知道怎麼理解了。有點虎頭蛇尾的意思，不過目前水平有限，只能到這裏了。

六、參考

[1] 馬同學：高等數學
[2] 代數學引論（第二卷） （俄羅斯）斯科特利金。P274-P276