今天上物理課時偶然想到了隱函數求導的嚴謹證明,那麼就記一下吧。
首先,如果我們要對一個隱函數求導,我們首先需要證明這個隱函數連續可微
以及,由於我太菜了,所以本文的隱函數只對於二維的隱函數進行了討論
對於一個二維隱函數***Implicit Function*** f(x,y),若對於此函數上的任意一點A(x1,y1),都有隱函數上的另一點 B(x2,y2) 使得對於任意正數 δ>0 ,都有 ∣x1−x2∣<δ 且 ∣y1−y2∣<δ,那麼我們說這個隱函數 f(x,y) 是連續可微的。
——XsJIONG的胡亂定義
那麼有了這個定義,我們就可以進入正題了。
推導
我們假設有這樣一個函數 f(x,y) ,其對應的隱函數爲
f(x,y)=C
其中 C 爲任意常數
那麼我們該如何得到它的導數呢?我們先來回顧一下導數的定義:
f′(x)=Δx→0limΔxf(x+Δx)−f(x)
即
f′(x)=Δx→0limΔxΔy
那麼我們就可以直觀地推出隱函數導數的公式
f′(x,y)=Δx→0limΔy→0limΔxΔy
那麼問題來了,我們該怎麼得到這個 Δx 和 Δy 呢?
讓我們回到這個隱函數 f(x,y)=C 上,我們可以得出
Δx→0limΔy→0limfx(x+Δx)+fy(y+Δy)=C(2)
其中 fx 和 fy 分別代表 f(x,y) 在 x 方向和 y 方向的偏函數。(可以簡單地理解爲把原函數 f(x,y) 拆分爲 fx(x)+fy(y),其中 fx 和 fy 分別是關於 x 和關於 y 的函數)
發現什麼了嗎?
我們由 (2)−(1) 可得
Δx→0limΔy→0limfx(x+Δx)−fx(x)+fy(y+Δy)−fy(y)=0
即
Δx→0limΔy→0limΔx⋅fx′(x)+Δy⋅fy′(y)=0(3)
其中 fx′(x) 和 fy′(y) 分別代表 f(x,y) 在 x 方向和 y 方向的偏導數。
那麼我們由 (3) 可以得到
Δx→0limΔy→0lim−Δx⋅fx′(x)=Δy⋅fy′(y)Δx→0limΔy→0limΔxΔy=−fy′(y)fx′(x)f′(x,y)=−fy′(y)fx′(x)
所以一個簡潔的公式就被推導出來了!
驗證
我們來驗證一下這個結論的正確性。
讓我們來看看這個很常見的隱函數:
f(x,y)=x2+y2f(x,y)=25
它的圖像應該是下圖所示的一個半徑爲5的圓
我們根據剛纔的結論可以得到
f′(x,y)=−fy′(y)fx′(x)=−2y2x=−yx
我們再任取一個點 A(3,4) ,根據生活常識,我們可以得到隱函數在這個點上的導數(即圖中黑線的斜率),也就是 −43 。
我們再用公式驗證一下:
f′(3,4)=−43
驗證完畢。