20190710B組
T1:100(100)
賽時：
怎麼現在比賽第一題都是數論？
這種一看就是規律題。
於是，我先將Fibonacci sequence打出來。
發現每15000個一個週期。
之後，分類討論一下就行了。
賽後：
對於80%的數據，根據遞推式用O(n)的方法就可以了。對於100%的數據，顯然要用到矩陣方法，這裏介紹兩種思路。
設F(n)，S(n)分別爲Fibonacci sequence的第n項和前n項和，求第x~y項的和相當於求S(y)-S(x-1)，於是問題變成了怎麼求S(y)和S(x-1)。
- 求出S(n)的通項，和F(n)的通項比較，可以發現S(n)=F(n+2)-1，於是就用矩陣乘法求出數列的第N+2項。但這樣的方法在比賽中不可取，因爲,，顯然除非你的手算能力足夠強，否則這需要浪費大量時間才能推倒出來。當然，由於S(n)=F(n+2)-1規律還是優美的，善於觀察的同寫幾項出來就可以發現規律.
- 根據F(n)=F(n-1)+F(n-2)，S(n)=S(n-1)+F(n)，我們可以按如下方法構造一個矩陣。
這種方法比較直觀，對矩陣乘法比較熟悉的同學應該很容易想到.
算法:
數論
T2:60(50)
賽時：
又事一道數論，可是就沒有前面幾題那麼簡單了。
經過一波亂推，一點效果都沒有。
最後只能打一個暴力。
感謝出題人，說好的50分，卻給了60分。
賽後：
對於50%的數據，直接枚舉答案判斷即可，對於80%的數據，用未優化的容斥原理可以解決，對於100%的數據，就要把一些冗餘的計算省去纔可以解決。
對於整數倍數的問題，一般很容易想到用容斥原理去做，對於這道題也是一樣的。由於題目答案不容易直接得出，而且答案又有明顯的有序性，於是我們可以二分答案，把原問題轉化成一個判定問題。
現在對於二分的答案ans，現在就是要求在[1,ans]這個範圍內，有多少個數滿足條件。對於這個問題，我們可以枚舉N個數當中的，設爲[1,ans]中有多少個數僅能被數整除，那麼[1,ans]中，滿足題目條件的答案是。如果，那麼ans就要加大，否則就減小。這樣的時間複雜度是，對於N=15這樣的數據顯然是難以在規定時間內出解，所以我們要進一步優化。
其實枚舉每一個，然後求出，在這個過程中有很多冗餘的計算。我們在對每個做容斥原理的時候可以發現，如果連同有k個數求出它們的交集，如果k是奇數，那麼答案就加上這個交集，如果是偶數，則答案減去這個交集。對於其餘的k-1個數，我們+-的都是同樣一個數，所以就沒必要枚舉所有的單獨求解。對於現在求出來的k個數的交集，如果k是奇數，那麼答案加上k*交集大小，如果k是偶數，那麼答案就減去k*交集大小，這樣的出來的結果是一樣的。時間複雜度就變成，這樣就可以在規定時間內出解了。
其實沒必要每次做容斥原理的時候都要去做GCD，GCD可以在開始的時候做一個預處理，f[state]表示狀態爲state(state是二進制化成10進制)的數的gcd是多少，這個預處理可以在2^n就可以做出來，然後做容斥原理的時候只就不需要重複做GCD了，時間複雜度變成，很完美地解決這個題目。所以，這樣與處理後即使不去掉冗餘計算的方法的時間複雜度變成，也可以在規定時間內出解。
算法：
數論
T3:50(50)
賽時：
終於出了一道字符串的題。
但是，太難了。
只好又打暴力。
幸好出題人有良心，暴力還有50分。
其實是一道狀壓dp題。
賽後:
對於50%的數據，枚舉k的全排列，然後生成新的字符串，然後按照題目要求做即可。對於100%的數據，要用到狀態壓縮Dp做。
首先可以發現，對於Len div k個塊，他們基本是互不影響的，只是在頭尾鏈接的時候有影響。而且在新的字符串中，每個塊裏面字母的排列順序都是一樣的，於是我們可以設S1[i][j]第i個字符和第j個字符不同個塊的總和，S2[i][j]表示相鄰兩個塊之間，前一個塊的第i個字符和後一個塊的第j個字符不相同的情況的總和。
於是我們就可以設f[i][j]當前排列以j結尾，在排列中的元素的狀態爲i(i是二進制轉化成的10進制)的壓縮後最小長度是多少。F[i][j]=min(f[i-(2^x)][x]+S1[k][j]);其中i and (2^x)<>0,且i and 2^j=0 於是我們就可以對於每個位置開頭，都做一次Dp，求出f[][]，然後枚舉f[2^k-1][j],ans=min(f[2^k-1][j]+S2[start][j])，start就是當前枚舉的起始位置，初始狀態是f[2^start][start]=1;這個Dp的時間複雜度是O(*(Len/k)+)。
算法:
狀壓dp
T4:20(100)
賽時：
果然最後一題，比賽還是要出一道圖論。
圖論總離不開最短路和樹。
這題題目上說樹，其實一點關係都沒有。
直接最短路，並統計到這個點的最優解的方案數。
並用乘法原理，就AC了。
賽後：
給一個最多50個點的帶權無向聯通圖，無自環和重邊，現在要去掉圖上的一些邊，使得圖變成一棵樹，並且在結果的樹上，每個點到點0的距離等於在原圖中每個點到點0的最短距離。問可以生成多少個不同的樹。
個人比較喜歡這題，做之前需要好好思考一下。首先考慮離0點最近的那個點，一定和0點只連着一條邊，則這條邊是必選的；然後考察第二近的點，一種可能是和0點直接連的邊比較近，一種可能是經過剛纔最近的那個點再到0點的路比較近，不管是哪一種，選擇都是唯一的，而剩下第三種可能是兩者距離相同，這樣的話兩者選且只能選一個。以此類推，假設現在已經構造好了前k個點的一棵子樹，看剩餘點中到0點最近的點，這個點到0點有k種方法（分別是和那k個點連邊），其中有m個是可以保持最短距離的，則這一步可選的邊數就是m。一直構造，把方法數累乘，就能得到最後的結果。整個過程可以很好的符合dijkstra的過程，而生成樹的步驟和prim如出一轍。
算法:
最短路
