統計0到n之間1的個數[數學,動態規劃dp](經典，詳解)

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問題描述

給定一個十進制整數N,求出從1到N的所有整數中出現”1”的個數。 

例如：N=2時 1,2出現了1個 “1” 。

N=12時 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出現了5個“1”。

方法一 暴力求解

最直接的方法就是從1開始遍歷到N，將其中每一個數中含有“1”的個數加起來，就得到了問題的解。

下面給出代碼：

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 int main()
 5 {
 6     int n,x,t;
 7     while(scanf("%d",&n)!=EOF)
 8     {
 9         int ans=0;
10         for(int i=1;i<=n;i++)
11         {
12             t=i;
13             while(t)
14             {
15                 if(t%10==1)
16                     ++ans;
17                 t=t/10;
18             }
19         }
20         printf("%d\n",ans);
21     }
22     return 0;
23 }

該算法的時間複雜度爲O(N*lgN)

(注：此方法對較大的數據有可能會TL)

解法二 

1位數的情況：

在解法二中已經分析過，大於等於1的時候，有1個，小於1就沒有。

 2位數的情況：

N=13,個位數出現的1的次數爲2，分別爲1和11，十位數出現1的次數爲4，分別爲10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

N=23,個位數出現的1的次數爲3，分別爲1，11，21，十位數出現1的次數爲10，分別爲10~19，f(N)=3+10。

由此我們發現，個位數出現1的次數不僅和個位數有關，和十位數也有關，如果個位數大於等於1，則個位數出現1的次數爲十位數的數字加1；如果個位數爲0，個位數出現1的次數等於十位數數字。而十位數上出現1的次數也不僅和十位數相關，也和個位數相關：如果十位數字等於1，則十位數上出現1的次數爲個位數的數字加1，假如十位數大於1，則十位數上出現1的次數爲10。

 3位數的情況:

N=123

個位出現1的個數爲13:1,11,21，…，91,101,111,121

十位出現1的個數爲20:10~19,110~119

百位出現1的個數爲24:100~123

 我們可以繼續分析4位數，5位數，推導出下面一般情況： 

假設N，我們要計算百位上出現1的次數，將由三部分決定：百位上的數字，百位以上的數字，百位一下的數字。

如果百位上的數字爲0，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12013，百位出現1的情況爲100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個。等於更高位數字乘以當前位數，即12 * 100。

如果百位上的數字大於1，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12213，百位出現1的情況爲100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300個。等於更高位數字加1乘以當前位數，即（12 + 1）*100。

        如果百位上的數字爲1，則百位上出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響。例如12113，受高位影響出現1的情況：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個，但它還受低位影響，出現1的情況是12100~12113，共114個，等於低位數字113+1。

綜合以上分析，寫出如下代碼：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<map>
 4 #include<cstring>
 5 #include<string>
 6 #include<algorithm>
 7 #include<queue>
 8 #include<vector>
 9 #include<stack>
10 #include<cstdlib>
11 #include<cctype>
12 #include<cmath>
13 #define LL long long
14 using namespace std;
15 int CountOne(int n) {
16     int cnt = 0;
17     int i = 1;
18     int current = 0, after = 0, before = 0;
19     while ((n / i) != 0) {
20         current = (n / i) % 10;
21         before = n / (i * 10);
22         after = n - (n / i) * i;
23         if (current > 1)
24             cnt = cnt + (before + 1) * i;
25         else if (current == 0)
26             cnt = cnt + before * i;
27         else if (current == 1)
28             cnt = cnt + before * i + after + 1;
29             i = i * 10;
30     }
31     return cnt;
32 }
33 int main()
34 {
35     int n;
36     while(cin>>n){
37         int res=CountOne(n);
38         cout<<res<<endl;
39     }
40     return 0;
41 }