monotonic queue 單調隊列

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引子

POJ 2823 - Sliding Window，對一個長度爲$n$的數組，求每個長度爲$k (k<=n)$的區間的最小值和最大值。

暴力for可以想到一個$O(NK)$的做法，當然，這篇文章是講$O(N)$的做法。

隊列

設定一個雙端隊列元素是$\{ a[index],index\}$ ，約束每次取到數組第$i$個元素的時候有這樣幾種情況：

• 當前元素比隊尾元素值小，則不斷彈出隊尾，再把此元素插入。
• 當前元素比隊尾元素值大，則直接把此元素插入。

但再這個問題中還有個限制是$k$區間，那麼每次插入前我們還需要把隊首元素做一次檢查，如果與當前下標距離大於$k$ 則不斷彈出隊首。

至此，當前元素處理完畢後，隊列的隊首，就是以當前位置爲右邊界的區間的最小值。

反向思維一下就可以做最大值了。

其他

優化空間

其實很好想到，你有數組了，存下標就夠了。

換個問法

除了$O(N)$遍歷定長子區間的最值，其實也可以反過來遍歷得到最值區間長。

比如問一個數組裏，區間最小值不小於x的最大長度是多少。

這時候我們需要的關鍵信息變成了下標，隊首出隊條件變成了與x的比較。

第二個理題，牛客多校的那個題就是類似這樣的問法，不過更復雜，還要考慮差值。

注意

• STL的deque在實際情況下還是會比較慢，建議用數組模擬一個。

• 單調隊列很靈活，常常是作爲題目做法的某一步。

例題

POJ 2823 - Sliding Window

int Kase, n, m;

int a[MAXN];
int ans1[MAXN], ans2[MAXN];
deque<int> rMAX, rMIN;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(0);
    cin.tie(0);

    cin >> n >> m;

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> a[i];
    }

    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        while (!rMIN.empty() && i - rMIN.front() >= m)
            rMIN.pop_front();
        while (!rMAX.empty() && i - rMAX.front() >= m)
            rMAX.pop_front();

        while (!rMIN.empty() && a[rMIN.back()] > a[i])
            rMIN.pop_back();

        while (!rMAX.empty() && a[rMAX.back()] < a[i])
            rMAX.pop_back();

        if (rMIN.empty() || a[rMIN.back()] <= a[i])
            rMIN.push_back(i);

        if (rMAX.empty() || a[rMAX.back()] >= a[i])
            rMAX.push_back(i);

        if (i >= m) {
            ans1[i] = a[rMIN.front()];
            ans2[i] = a[rMAX.front()];
        }
    }
    for (int j = m; j <= n; ++j) {
        cout << ans1[j] << " \n"[j == n];
    }
    for (int j = m; j <= n; ++j) {
        cout << ans2[j] << " \n"[j == n];
    }
    return 0;
}

牛客883F - Planting Trees 單調隊列雙指針

參考

Minimum Stack / Minimum Queue

OI Wiki - 單調隊列