積分作爲高等數學的核心部分，主要含蓋了一重積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第二型曲線積分，第一型曲面積分，第二型曲面積分。微積分學在研究中作爲必不可少的工具，熟練掌握一些計算方法和重要公式比如是最基本的了。下面是我的一些總結：
1.一重積分
一重積分，主要精力就要研究不定積分和定積分了。不定積分的求解是後面求其他積分的基礎，是最最最基礎的部分，這裏一定要有充分的認識，後續的其他積分求解都會以一重積分的不定積分作爲基礎來進行推算的。
1)意義
∫f(x)dx：dx爲長度元素
一重積分的意義是一個物理量在另一個物理量上的累加效果。比如速度關於時間的函數爲v(t)，速度*時間=路程。
∫v(t)dt=s(t).
一重積分還可以表示積分函數的變化情況。
一重積分的幾何意義是求得函數f(x)在區間(a,b)上函數與x軸圍成圖形的面積。如圖：
2)求解
☆☆☆換元積分法：
∫f(u(x))u`(x)dx = ∫f(u)du
☆☆☆分佈積分法：
∫udv=uv-∫vdu
3)基本積分公式
2.二重積分
1)意義
∫∫(D)f(x,y)dθ：dθ爲面積元素
二重積分的意義是一個物理量在一個二維物理量上的累加效果。比如曲頂柱體的體積，平面薄片的質量。
二重積分的幾何意義是f(x,y)在區域D上與xOy平面圍成的閉區域的體積。
2)求解
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y)dθ=∫*(a->b)* dx∫*(φ1(x)->φ2(x))* f(x,y)dy或∫∫f(x,y)dθ=∫*(c->d)* dy∫*(φ1(y)->φ2(y))* f(x,y)dx
☆☆☆換元積分法：
1.極座標，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f(rcosθ,rsinθ)r drdθ。注意這裏多了一個r
2.直角座標，x=x(u,v) ，y=y(u,v)。∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫f[x(u,v),y(u,v)]|J|dudv。這裏的J是雅可比行列式，
J=∂(x,y)/∂(u,v)=(∂x/∂u)(∂y/∂v)-(∂x/∂v)(∂y/∂u)
3.三重積分
1)意義
這裏可以用密度來進行理解：已知ρ(x,y,z)表示空間體在每一點的密度大小。積分可以求得物體的質量。
∫∫∫(Ω)ρ(x,y,z)dV，這裏dV爲體積元素。
2)求解
☆☆☆基本求解方法：
∫∫f(x,y,z)dV=∫∫dxdy∫*(z1(x,y)->z2(x,y))* f(x,y,z)dz或∫∫f(x,y,z)dV=∫*(α->β)* dz∫∫*D(z1)->D(z2)*f(x,y,z)dxdy或
☆☆☆換元積分法：
1.極座標，令x=rcosθ，y=rsinθ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f(rcosθ,rsinθ,z)r drdθdz。和二重積分還原一樣。
2.球面座標，令x=rsinφcosθ，y=rsinφsinθ，z=cosφ。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫[f(rsinφcosθ,rsinφsinθ,rcosφ)(r^2)sinφ] drdθdz.這裏多了(r^2)sinφ。
3.直角座標，x=x(u,v,l) ，y=y(u,v,l)，z=z(u,v,l)。∫∫∫f(x,y,z)dxdydz = ∫∫∫f[x(u,v,l),y(u,v,l),z(u,v,l)] |J| dudvdl。這裏的J是雅可比行列式，J=∂(x,y,z)/∂(u,v,l).
4.曲線積分
4-1第一型曲線積分
1)意義
已知一條曲線的線密度，求曲線的質量。這裏不同於求曲線的長度，如果這是一條質量均勻的曲線，那麼利用弧微分求出它的長度就可以知道它的質量了。但是現在只能知到它的線密度，代表他不一定是均勻的。
∫(L)f(x,y)ds，表示對平面上弧長的曲線積分。∫(L)f(x,y,z)ds就可以表示空間的曲線了。
2)求解
∫(L)f(x,y)ds
對於參數方程x=x(t),y=y(t)。ds=√[x`(t)*x`(t)+y`(t)*y`(t) ]dt
∴ ∫(L)f(x,y)ds = ∫(ta->tb)f[x(t),y(t)] √[x`(t)*x`(t)+y`(t)*y`(t) ]dt
1.如果y=y(x)，∫(L)f(x,y)ds = ∫(xa->xb)f[x,y(x)] √[1+y`(x)*y`(x) ]dx
2.如果x=x(y)，∫(L)f(x,y)ds = ∫(yc->yd)f[x(y),y] √[x`(y)*x`(y)+1 ]dy
4-2第二型曲線積分
1)意義
在xOy平面內一質點受到變力F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j 的作用沿光滑曲線弧L,從點A運動到點B，求F做的功。
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy。如果L是閉合曲線則寫成∮(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy
2)求解
對於參數方程x=x(t),y=y(t)
∫(L)P(x,y)dx+Q(x,y)dy=∫(ta->tb)[P(x(t),(t))*x`(t)+Q(x(t),y(t))*y`(t)]dt
4-3第一型曲線積分與第二型曲線積分的關係
∫(L)Pdx+Qdy+Rdz=∫(L)[Pcosα+Qcosβ+Rcosγ]ds
αβγ分別爲曲線在點(x,y,z)處與座標軸的夾角。
5.曲面積分
5-1第一型曲面積分
1)意義
類似於第一型曲線積分，現在知道曲面的面密度ρ(x,y,z),求曲面的質量。
∫∫(∑)ρ(x,y,z)dS
2)求解
∫∫(∑)f(x,y,z)dS
對於方程z=z(x,y)。∫ ∫(∑)f(x,y,z)dS = ∫(Dxy)f[x,y,z(x,y)] √[1+(∂z/∂x)(∂z/∂x) + (∂z/∂y)(∂z/∂y) ]dxdy
5-2第二型曲面積分
1)意義
對於穩定流動的不可壓縮的流體在(x,y,z)處的流度可以表示爲v(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z))
求單位時間內流向定向曲面的流體的質量及流量φ。
φ= ∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
2)求解
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy
=±∫∫(Dyz)P(x,y,z)dydz±∫∫(Dxz)Q(x,y,z)dxdz±∫∫(Dxy)R(x,y,z)dxdy
正負號根據∑面的正負方向來判斷。
5-3第一型曲面積分與第二型曲面積分之間的聯繫
∫∫(∑)P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dxdz+R(x,y,z)dxdy=∫∫(∑)[P(x,y,z)cosα+Q(x,y,z)cosβ+R(x,y,z)cosγ ]dS
即∫∫(∑)Pydz+Qdxdz+Rdxdy=∫∫(∑)(Pcosα+Qcosβ+Rcosγ )dS