Python：蒙特卡羅方法模擬解決三門問題

蒙特卡羅方法與三門問題

蒙特·卡羅方法（Monte Carlo method），也稱統計模擬方法。是一種統計學的方法、模擬方法，通過大量隨機樣本模擬問題，從而獲得所要計算的值。

三門問題：

三門問題（Monty Hall problem）亦稱爲蒙提霍爾問題、蒙特霍問題或蒙提霍爾悖論，大致出自美國的電視遊戲節目Let's Make a Deal。問題名字來自該節目的主持人蒙提·霍爾（Monty Hall）。參賽者會看見三扇關閉了的門，其中一扇的後面有一輛汽車，選中後面有車的那扇門可贏得該汽車，另外兩扇門後面則各藏有一隻山羊。當參賽者選定了一扇門，但未去開啓它的時候，節目主持人開啓剩下兩扇門的其中一扇，露出其中一隻山羊。主持人其後會問參賽者要不要換另一扇仍然關上的門。問題是：換另一扇門會否增加參賽者贏得汽車的機率？如果嚴格按照上述的條件，即主持人清楚地知道，自己打開的那扇門後是羊，那麼答案是會。不換門的話，贏得汽車的機率是1/3。換門的話，贏得汽車的機率是2/3。

蒙特卡洛思想在三門問題上的應用

應用蒙特卡洛重點在使用隨機數來模擬類似於賭博問題的贏率問題，並且通過多次模擬得到所要計算值的模擬值。在三門問題中，用0、1、2分別代表三扇門的編號，在[0,2]之間隨機生成一個整數代表獎品所在門的編號prize，再次在[0,2]之間隨機生成一個整數代表參賽者所選擇的門的編號guess。用變量change代表遊戲中的換門（ture）與不換門（false）：

 這樣大量重複模擬這個過程（10000次或者100000次）就可以得到換門猜中的概率和不換門猜中的概率。

使用python（python對縮進有要求，要特別注意），編程實現：

# -*- coding: utf-8 -*-
import random


#玩遊戲，change:是否換門
def play(change):
    #獎品爲[0,2]之間的一個隨機整數
    prize=random.randint(0,2)
    #在[0,2]之間生成一個隨機整數作爲參賽者猜的門的編號
    guess=random.randint(0,2)
    #假設一開始猜中
    if(prize==guess):
        if(change):
            return False
        else:
            return True
    #假設一開始猜錯
    else:
        if(change):
            return True
        else:
            return False

#計算贏率，N代表模擬次數，change代表是否換門
def winRate(change,N):
    win=0
    #range範圍爲：[0,N)
    for i in range(0,N):
        if (play(change)):
            win=win+1
    print("中獎率爲：")
    print(win/N)

N=1000000
print("玩"+str(N)+"次,每一次都換門：")
winRate(True,N)
print('\n')
print("玩"+str(N)+"次,每一次都不換門：")
winRate(False,N)