二次與三次B樣條曲線c++實現

B樣條曲線構建一條平滑曲線，接近而不通過控制點（首尾點除外）。如圖

B樣條曲線從Bezier曲線演變而來，瞭解B樣條曲線首先得了解Bezier曲線。對於平面上的三個點P0，P1，P2，其座標分別是(x0,y0)、(x1,y1)、(x2,y2)。二次Bezier曲線用一條拋物線進行擬合，其參數方程是

二次Bezier曲線有如下要求：（1）t=0時，曲線經過P0，並與P0P1相切；（2）t=1時，曲線經過P2，並與P1P2相切。即有

聯立這些條件可以得到曲線參數表達式：

其中，，稱爲二次Bezier曲線基函數。

每3個離散點形成一條Bezier曲線，由於每條Bezier都經過端點，導致分段的Bezier曲線在端點處難以平滑過渡。二次B樣條曲線克服了這個缺點，把端點移到線段中點（如下圖所示），這樣就能保證各段曲線在連接處能夠一階導數連續。

由此滿足條件：

結合條件可以求解得到二次B樣條曲線：

二次B樣條曲線實現，只需將曲線參數t劃分成k等分，t從0開始取值，間隔dt，直至k*dt。如果想讓整條曲線兩端與起始點P0和終止點Pn重合，只需以P0和Pn爲中點，構造新點PP1=2*P0-P1，與PP2=2*Pn-Pn-1，替換掉P0與Pn即可。

三次B樣條曲線通過樣條基函數可以得到如下形式：

三次B樣條具有以下物理意義，曲線起點S位於三角形P0P1P2的中線P1M1上，距離P1點1/3倍P1M1處；曲線中點E位於三角形P1P2P3的中線P2M2上，距離1/3倍P2M2處；曲線起點切線平行於P0P2，終點切線平行於P1P3.

三次B樣條曲線要想讓曲線兩端與起始端P0與Pn重合，只需構造新點PP1=2*P0-P1，與PP2=2*Pn-Pn-1，分別加到P0之前與Pn之後即可。由此，參與計算點的增加了2個（注意，二次B樣條是替換不是增加）。

編程實現：

程序實現了二次與三次B樣條曲線，封裝成了BSpline類

BSpine.h

#pragma once
#include "position.h"

typedef struct tagPosition
{
    double  x;
    double  y;
	tagPosition(double _x,double _y) { x=_x; y=_y;}
	tagPosition() {};
	bool operator==(const tagPosition & pt) { return (x==pt.x && y==pt.y);} 
} CPosition;

class CBSpline
{
public:
	CBSpline(void);
	~CBSpline(void);

	void TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
	void TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
	double F02(double t);
	double F12(double t);
	double F22(double t);

	void ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num);
	void ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum);
	double F03(double t);
	double F13(double t);
	double F23(double t);
	double F33(double t);
};

BSpine.cpp

//****************************     BSpline.cpp     *********************************** 
// 包含功能：二次B樣條平滑，三次B樣條平滑；二次B樣條平滑後節點插值
//
// 作者：    蔣錦朋   [email protected]
// 單位：    中國地質大學（武漢） 地球物理與空間信息學院
// 日期：    2014/12/03
//*************************************************************************************
#include "StdAfx.h"
#include "BSpline.h"


CBSpline::CBSpline(void)
{
}


CBSpline::~CBSpline(void)
{
}
//======================================================================
// 函數功能： 二次B樣條平滑，把給定的點，平滑到B樣條曲線上，不增加點的數目
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成後，會被替換成新的平滑點
//            Num：點個數
// 返回值：   無返回值

// 編輯日期：    2014/12/03
//======================================================================
void CBSpline::TwoOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
{
	CPosition *temp=new CPosition[Num];
	for(int i=0;i<Num;i++)
		temp[i]=pt[i];

	temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x;                  //  將折線兩端點換成延長線上兩點
	temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;

	temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
	temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;

	CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3;
	double t;
    for(int i=0;i<Num-2;i++)
	{
		NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2];
		if(i==0)                                     //  第一段取t=0和t=0.5點
		{   
			t=0;
			pt[i].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
			pt[i].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
			t=0.5;
			pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
			pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
		}else if(i==Num-3)                          //  最後一段取t=0.5和t=1點
		{
			t=0.5;
			pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
			pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
			t=1;
			pt[i+2].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
			pt[i+2].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
		}else                                      //  中間段取t=0.5點
		{
			t=0.5;
			pt[i+1].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
			pt[i+1].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
		}
	}
	delete []temp;
}

//================================================================
// 函數功能： 二次B樣條擬合,在節點之間均勻插入指定個數點
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成後，會被替換成新的數據點
//            Num：節點點個數
//            *InsertNum: 節點之間需要插入的點個數指針 
// 返回值：   無返回值
//
// 編輯日期：   2014/12/07
//=================================================================
void CBSpline::TwoOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
{
	if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;

	int InsertNumSum=0;                               //  計算需要插入的點總數
	for(int i=0;i<Num-1;i++)  InsertNumSum+=InsertNum[i];

	CPosition *temp=new CPosition[Num];               //  二次B樣條不需要增加點數，需要將首尾點替換掉
	for(int i=0;i<Num;i++)
		temp[i]=pt[i];

	temp[0].x=2*temp[0].x-temp[1].x;                  //  將折線兩端點換成延長線上兩點
	temp[0].y=2*temp[0].y-temp[1].y;

	temp[Num-1].x=2*temp[Num-1].x-temp[Num-2].x;
	temp[Num-1].y=2*temp[Num-1].y-temp[Num-2].y;

	delete []pt;                                      //  點數由原來的Num個增加到Num+InsertNumSum個，刪除舊的存儲空間，開闢新的存儲空間

	pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];              

	CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;        //  兩節點間均勻插入點，需要相鄰兩段樣條曲線,因此需要四個節點

	double t;
	int totalnum=0;
	for(int i=0;i<Num-1;i++)                          //  每條線段均勻插入點
	{
		if(i==0)                                      //  第一段只需計算第一條樣條曲線，無NodePt1
		{   
			NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];     

			double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
			for(int j=0;j<InsertNum[i]+1;j++)
			{
				t=0+dt*j;
				pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
				pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
				totalnum++;
			}
		}else if(i==Num-2)                            //  最後一段只需計算最後一條樣條曲線，無NodePt4
		{
			NodePt1=temp[i-1]; NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1];

			double dt=0.5/(InsertNum[i]+1);
			for(int j=0;j<InsertNum[i]+2;j++)
			{
				t=0.5+dt*j;
				pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
				pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
				totalnum++;
			}
		}else                                      
		{
			NodePt1=temp[i-1],NodePt2=temp[i]; NodePt3=temp[i+1]; NodePt4=temp[i+2];    // NodePt1,2,3計算第一條曲線，NodePt2,3,4計算第二條曲線

			int LeftInsertNum,RightInsertNum;          //  計算線段間左右曲線段上分別需要插入的點數
			double rightoffset=0;                      //  左邊曲線段從t=0.5開始，又邊曲線段從t=rightoffset開始
			double Leftdt=0,Rightdt=0;                 //  左右曲線取點t步長
			if(InsertNum[i]==0 )
			{
				LeftInsertNum=0;
				RightInsertNum=0;
			}else if(InsertNum[i]%2==1)                //  插入點數爲奇數，左邊曲線段插入點個數比右邊多一點
			{
				RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
				LeftInsertNum=RightInsertNum+1;
				Leftdt=0.5/(LeftInsertNum);
				Rightdt=0.5/(RightInsertNum+1);
				rightoffset=Rightdt;
			}else                                      //  插入點數爲偶數，左右邊曲線段插入個數相同
			{
				RightInsertNum=InsertNum[i]/2;
				LeftInsertNum=RightInsertNum;
				Leftdt=0.5/(LeftInsertNum+0.5);
				Rightdt=0.5/(RightInsertNum+0.5);
				rightoffset=Rightdt/2;
			}

			for(int j=0;j<LeftInsertNum+1;j++)
			{
				t=0.5+Leftdt*j;
				pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt1.x+F12(t)*NodePt2.x+F22(t)*NodePt3.x;
				pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt1.y+F12(t)*NodePt2.y+F22(t)*NodePt3.y;
				totalnum++;
			}

			for(int j=0;j<RightInsertNum;j++)
			{				
				t=rightoffset+Rightdt*j;
				pt[totalnum].x=F02(t)*NodePt2.x+F12(t)*NodePt3.x+F22(t)*NodePt4.x;
				pt[totalnum].y=F02(t)*NodePt2.y+F12(t)*NodePt3.y+F22(t)*NodePt4.y;
				totalnum++;
			}
		}
	}
	delete []temp;
	Num=Num+InsertNumSum;

}
//================================================================
// 函數功能： 二次樣條基函數
//
// 編輯日期：    2014/12/03
//================================================================
double CBSpline::F02(double t)
{
	return 0.5*(t-1)*(t-1);
}
double CBSpline::F12(double t)
{
	return 0.5*(-2*t*t+2*t+1);
}
double CBSpline::F22(double t)
{
	return 0.5*t*t;
}
//========================================================================
// 函數功能： 三次B樣條平滑，把給定的點，平滑到B樣條曲線上，不增加點的數目
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成後，會被替換成新的平滑點
//            Num：點個數
// 返回值：   無返回值
//
// 編輯日期：    2014/12/03
//========================================================================
void CBSpline::ThreeOrderBSplineSmooth(CPosition *pt,int Num)
{
	CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
	for(int i=0;i<Num;i++)
		temp[i+1]=pt[i];

	temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x;                  //  將折線延長線上兩點加入作爲首點和尾點
	temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;

	temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
	temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;

	CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
	double t;
	for(int i=0;i<Num-1;i++)
	{
		NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];

		if(i==Num-4)                          //  最後一段取t=0.5和t=1點
		{
			t=0;
			pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
			pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
			t=1;
			pt[i+1].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
			pt[i+1].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
		}else                                      //  中間段取t=0.5點
		{
			t=0;
			pt[i].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
			pt[i].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
		}
	}
	delete []temp;
}

//================================================================
// 函數功能： 三次B樣條擬合,在節點之間均勻插入指定個數點
// 輸入參數： *pt ：給定點序列，執行完成後，會被替換成新的數據點
//            Num：節點點個數
//            *InsertNum: 節點之間需要插入的點個數指針 
// 返回值：   無返回值
//
// 編輯日期：   2014/12/07
//=================================================================
void CBSpline::ThreeOrderBSplineInterpolatePt(CPosition *&pt,int &Num,int *InsertNum)
{
	if(pt==NULL || InsertNum==NULL) return;

	int InsertNumSum=0;                               //  計算需要插入的點總數
	for(int i=0;i<Num-1;i++)  InsertNumSum+=InsertNum[i];

	CPosition *temp=new CPosition[Num+2];
	for(int i=0;i<Num;i++)
		temp[i+1]=pt[i];

	temp[0].x=2*temp[1].x-temp[2].x;                  //  將折線延長線上兩點加入作爲首點和尾點
	temp[0].y=2*temp[1].y-temp[2].y;

	temp[Num+1].x=2*temp[Num].x-temp[Num-1].x;
	temp[Num+1].y=2*temp[Num].y-temp[Num-1].y;

	CPosition NodePt1,NodePt2,NodePt3,NodePt4;
	double t;

	delete []pt;                                      //  點數由原來的Num個增加到Num+InsertNumSum個，刪除舊的存儲空間，開闢新的存儲空間

	pt=new CPosition[Num+InsertNumSum];              

	int totalnum=0;
	for(int i=0;i<Num-1;i++)                          //  每條線段均勻插入點
	{
		NodePt1=temp[i]; NodePt2=temp[i+1]; NodePt3=temp[i+2]; NodePt4=temp[i+3];
		double dt=1.0/(InsertNum[i]+1);

		for(int j=0;j<InsertNum[i]+1;j++)
		{
			t=dt*j;
			pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
			pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
			totalnum++;
		}

		if(i==Num-2){              //  最後一個尾點
			t=1;
			pt[totalnum].x=F03(t)*NodePt1.x+F13(t)*NodePt2.x+F23(t)*NodePt3.x+F33(t)*NodePt4.x;
			pt[totalnum].y=F03(t)*NodePt1.y+F13(t)*NodePt2.y+F23(t)*NodePt3.y+F33(t)*NodePt4.y;
			totalnum++;
		}
	}

	delete []temp;
	Num=Num+InsertNumSum;

}

//================================================================
// 函數功能： 三次樣條基函數
//
// 編輯日期：    2014/12/03
//================================================================
double CBSpline::F03(double t)
{
	return 1.0/6*(-t*t*t+3*t*t-3*t+1);
}
double CBSpline::F13(double t)
{
	return 1.0/6*(3*t*t*t-6*t*t+4);
}
double CBSpline::F23(double t)
{
	return 1.0/6*(-3*t*t*t+3*t*t+3*t+1);
}
double CBSpline::F33(double t)
{
	return 1.0/6*t*t*t;
}

程序調用：

#include "stdafx.h"
#include "math.h"
#include "BSpline.h"

int _tmain(int argc, _TCHAR* argv[])
{
	int num=8;
	double x[8]={9.59,60.81,105.57,161.59,120.5,100.1,50.0,10.0};
	double y[8]={61.97,107.13,56.56,105.27,120.5,150.0,110.0,180.0};

	CPosition *testpt=new CPosition[num];
	for(int i=0;i<num;i++) testpt[i]=CPosition(x[i],y[i]);

	int *Intnum=new int[num-1]; 
	for(int i=0;i<num-1;i++){
		Intnum[i]=10;                 //  每一個樣條曲線內插入10個點
	}

	int num2=num;
	CBSpline bspline;
	bspline.TwoOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum);        //  二次B樣條曲線
	//bspline.ThreeOrderBSplineInterpolatePt(testpt,num2,Intnum);    //  三次B樣條曲線
	delete Intnum;


	FILE *fp_m_x = fopen("Bspline_test_x.txt", "wt");
	FILE *fp_m_y = fopen("Bspline_test_y.txt", "wt");
	for (int i = 0; i < num2; i++){
		fprintf(fp_m_x, "%lf\n", testpt[i].x);
		fprintf(fp_m_y, "%lf\n", testpt[i].y);
	}
	fclose(fp_m_x);
	fclose(fp_m_y);

	return 0;
}

程序運行結束後會生成樣條曲線座標文件，分別爲橫座標：Bspline_test_x.txt和縱座標Bspline_test_y.txt.利用matlab繪圖可以得到下面結果：

附matlab繪圖代碼：

clear all;
clc;

load Bspline_test_x2.txt;    % 導入二次B樣條計算的結果
load Bspline_test_y2.txt;
load Bspline_test_x3.txt;    % 導入三次B樣條計算的結果
load Bspline_test_y3.txt;

control_point_x=[9.59,60.81,105.57,161.59,120.5,100.1,50.0,10.0];
control_point_y=[61.97,107.13,56.56,105.27,120.5,150.0,110.0,180.0];

figure;
h1=plot(control_point_x,control_point_y,'--ob'); hold on;
h2=plot(Bspline_test_x2,Bspline_test_y2,'--k','LineWidth',2);
h3=plot(Bspline_test_x3,Bspline_test_y3,':r','LineWidth',2);

legend([h1 h2 h3],'控制點','二次B樣條曲線','三次B樣條曲線');
axis([0 200 40 200]);
set(gca,'FontSize',15); set(gca,'FontWeight','bold'); set(gca,'LineWidth',2);
set(get(gca,'XLabel'),'Fontsize',15); set(get(gca,'YLabel'),'FontSize',15);

二次與三次B樣條曲線c++實現

任意離散點曲線求交點c++實現

三維離散點最優空間圓擬合及實現

opencl無法識別cuda平臺

二次與三次B樣條曲線c++實現

三次參數樣條曲線擬合（任意控制點）

Mac下配置sublime實現LaTeX

https://yachay.unat.edu.pe/blog/index.php?comment_area=format_blog&comment_component=blog&comment_co

linux以太網驅動總結