HDU 4497 GCD and LCM

題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=4497
題目大意：給定兩個數$L,G$，問滿足$gcd(x,y,z)=G, lcm(x,y,z)=L$的$(x,y,z)$組合有多少種？

思路：

首先我們可以判斷：

如果$L$不能被$G$整除的話，這樣的組合一定不存在。

當這樣的組合存在的時候，我們可以令$tmp=\frac{L}{G}$，那麼題目所求方案數與求$gcd(x,y,z)=1$且$lcm(x,y,z)=tmp$的方案數是等價的。

那麼我們對$tmp$進行素數分解：$tmp=p_1^{t_1} * p_2^{t_2} * ……* p_n^{t_n}$。

因爲$tmp$是這三個數的倍數，因而同樣可得$x,y,z$的組成形式爲：

$x=p_1^{i_1} * p_2^{i_2} * ……* p_n^{i_n}$

$y=p_1^{j_1} * p_2^{j_2} * ……* p_n^{j_n}$

$z=p_1^{k_1} * p_2^{k_2} * ……* p_n^{k_n}$

對於某一個素因子$p$：

因爲要滿足$gcd(x,y,z)=1$，即三個數沒有共同的素因子，所以$min(i,j,k)=0$。

又因爲要滿足$lcm(x,y,z)=tmp$，即$p^t$必然要至少存在一個，所以$max(i,j,k)=t$。

換言之：至少要有一個$p^t$，以滿足$lcm(x,y,z)=tmp$的要求；至多有兩個包含$p^t$，以滿足$gcd(x,y,z)=1$的要求。

因而基本的組合方式爲$(0,p^t,p^k)$，$k$的取值範圍爲$[0,t]$。

而因爲$(1,2,3)$和$(2,1,3)$是不同的方法，所有滿足要求的方法中，除了$(0,0,t)$和$(0,t,t)$各有3種排列之外，其餘都有6種排列。

對於某一個素因子$p_i$總的方法數爲$6*(t_i-1)+2*3=6*t_i$。

最終答案$ans=(6*t_1)*(6*t_2)*........*(6*t_n)$。
AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1e6+10;
const int mod=1e9+7;
int prime[maxn],tot=0,mu[maxn];
int g,l;
int solve(int x)//分解tmp
{
    int sum=1;
    for(int i=2;i*i<=x;i++){
        if(x%i==0){
            int cnt=0;
            while(x%i==0){
                cnt++;
                x/=i;
            }
            sum*=6*cnt;
        }
    }
    if(x>1){
        sum*=6*1;
    }
    return sum;
}
int main()
{
    int t;
    cin>>t;
    while(t--){
        cin>>g>>l;
        int ans;
        if(l%g!=0){
            ans=0;
        }  
        else{
            l/=g;
            ans=solve(l);
        }
        cout<<ans<<endl;
    }
    return 0;
}

參考：https://www.bbsmax.com/A/gGdXnNbYJ4/