HDU 6706 huntian oy【杜教篩】

題目鏈接：http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=6706

題目大意：給定$n,a,b$，保證$a,b$互質，
計算$f(n,a,b)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]\%(10^9+7)$。

題解：
因爲$a>b$且$gcd(a,b)=1$，則有$gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)}$。

證明 ：
假設：$n>=m$，$r=n \%m$

有$a^n-b^n=(a^m-b^m)*(a^{n-m}+a^{n-2m}b^m+\dots+a^rb^{n-m-r})+a^rb^{n-r}-b^n$

$gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=gcd(a^rb^{n-r}-b^n,a^m-b^m)=gcd(b^{n-r}*(a^r-b^r),a^m-b^m)$

設$b^{n-r}=b^{m\lfloor \frac{n}{m} \rfloor}=b^{km}$

考慮$gcd(b^{km},a^m-b^m)$

有$b^{km}=(a^m-b^m)*(-b^{(k-1)m}-a^mb^{(k-2)m}-\dots-a^{(k-1)m})+a^{km}$

$gcd(b^{km},a^m-b^m)=gcd(a^{km},a^m-b^m)=d$

所以$d|b^{km},d|a^{km},d|gcd(b^{km},a^{km})=1$

即$gcd(b^{n-r},a^m-b^m)=1$

所以$gcd(a^n-b^n,a^m-b^m)=gcd(a^{n\%m}-b^{n\%m},a^m-b^m)=a^{gcd(n,m)}-b^{gcd(n,m)}$
證畢。

那麼題目：

$f(n,a,b)$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^igcd(i^a-j^a,i^b-j^b)[gcd(i,j)=1]$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^i(i-j)[gcd(i,j)=1]$

$=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ii[gcd(i,j)=1]-\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^ij[gcd(i,j)=1]$

$=\sum_{i=1}^ni*\phi(i)-\sum_{i=1}^n(\frac{i*\phi(i)}{2}+[i==1])$

$=\frac{\sum_{i=1}^ni*\phi(i)-1}{2}$

由杜教篩公式：$S(n)*g(1)=\sum_{i=1}^n(f*g)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i})$

這時候我們就可以通過構造$f(n)=n*\phi(n)$，$S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$，$g(n)=id(n)$作狄利克雷卷積杜教篩即可

$(f*g)(n)=\sum_{d|n}n*\phi(d)=n\sum_{d|n}\phi(d)=n^2$

最終杜教篩的公式：$S(n)=\sum_{i=1}^ni^2-\sum_{i=2}^ni*S(\frac{n}{i})$，前一部分直接算，後一部分可以用分塊求和做就$ok$了。

AC代碼：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7;
int qpow(int x,int y)
{
    int ans=1;
    while(y>0){
        if(y&1){
            ans=(ll)ans*x%mod;
        }
        x=(ll)x*x%mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
const int maxn=1e6+10;
bool vis[maxn];
int tot=0,phi[maxn],prime[maxn];
int s[maxn];
void calphi()
{
    phi[1]=1;
    for(int i=2;i<maxn;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[tot++]=i;
            phi[i]=i-1;
        }
        for(int j=0;j<tot;j++){
            if(i*prime[j]>maxn){ break;}
            vis[i*prime[j]]=1;
            if(i%prime[j]==0){
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
                break;
            }
            else{
                phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
            }
        }
    }
    s[0]=0;
    for(int i=1;i<maxn;i++){
        s[i]=(ll)(s[i-1]+(ll)i*phi[i]%mod)%mod;//先預處理1e6以內的f(n)的值
    }
}
int inv_2,inv_6;
unordered_map<int,int>ard;//已經計算過的通過map映射，不需重複計算
int solve(int n)
{
    if(n<maxn){
        return s[n];
    }
    if(ard[n]){
        return ard[n];
    }
    int ans=(ll)n*(n+1)%mod*(2*n%mod+1)%mod*inv_6%mod;
    int l=2,r=n;
    while(l<=n){//分塊求和
        r=(n/(n/l));
        ans=(ans-(ll)(l+r)*(r-l+1)%mod*inv_2%mod*solve(n/l)%mod+mod)%mod;
        l=r+1;
    }
    ard[n]=ans;
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    scanf("%d",&t);
    calphi();
    int a,b;
    int n;
    inv_2=qpow(2,mod-2);
    inv_6=qpow(6,mod-2);
    while(t--){
        scanf("%d%d%d",&n,&a,&b);
        int ans=(ll)((solve(n)-1)%mod+mod)%mod*inv_2%mod;
        printf("%d\n",ans);
    }
    return 0;
}

杜教篩參考：https://www.cnblogs.com/peng-ym/p/9446555.html
參考：https://www.cnblogs.com/danzh/p/11405721.html