一:綜述
二:原理
(1)線段樹的點修改:
(2)線段樹的區間查詢:
(3)線段樹的區間修改:
(4)線段樹的存儲結構:
三:遞歸實現
(0)定義:
- #define maxn 100007 //元素總個數
- #define ls l,m,rt<<1
- #define rs m+1,r,rt<<1|1
- int Sum[maxn<<2],Add[maxn<<2];//Sum求和,Add爲懶惰標記
- int A[maxn],n;//存原數組數據下標[1,n]
(1)建樹:
- //PushUp函數更新節點信息 ,這裏是求和
- void PushUp(int rt){Sum[rt]=Sum[rt<<1]+Sum[rt<<1|1];}
- //Build函數建樹
- void Build(int l,int r,int rt){ //l,r表示當前節點區間,rt表示當前節點編號
- if(l==r) {//若到達葉節點
- Sum[rt]=A[l];//儲存數組值
- return;
- }
- int m=(l+r)>>1;
- //左右遞歸
- Build(l,m,rt<<1);
- Build(m+1,r,rt<<1|1);
- //更新信息
- PushUp(rt);
- }
(2)點修改:
- void Update(int L,int C,int l,int r,int rt){//l,r表示當前節點區間,rt表示當前節點編號
- if(l==r){//到葉節點,修改
- Sum[rt]+=C;
- return;
- }
- int m=(l+r)>>1;
- //根據條件判斷往左子樹調用還是往右
- if(L <= m) Update(L,C,l,m,rt<<1);
- else Update(L,C,m+1,r,rt<<1|1);
- PushUp(rt);//子節點更新了,所以本節點也需要更新信息
- }
(3)區間修改:
- void Update(int L,int R,int C,int l,int r,int rt){//L,R表示操作區間,l,r表示當前節點區間,rt表示當前節點編號
- if(L <= l && r <= R){//如果本區間完全在操作區間[L,R]以內
- Sum[rt]+=C*(r-l+1);//更新數字和,向上保持正確
- Add[rt]+=C;//增加Add標記,表示本區間的Sum正確,子區間的Sum仍需要根據Add的值來調整
- return ;
- }
- int m=(l+r)>>1;
- PushDown(rt,m-l+1,r-m);//下推標記
- //這裏判斷左右子樹跟[L,R]有無交集,有交集才遞歸
- if(L <= m) Update(L,R,C,l,m,rt<<1);
- if(R > m) Update(L,R,C,m+1,r,rt<<1|1);
- PushUp(rt);//更新本節點信息
- }
(4)區間查詢:
- void PushDown(int rt,int ln,int rn){
- //ln,rn爲左子樹,右子樹的數字數量。
- if(Add[rt]){
- //下推標記
- Add[rt<<1]+=Add[rt];
- Add[rt<<1|1]+=Add[rt];
- //修改子節點的Sum使之與對應的Add相對應
- Sum[rt<<1]+=Add[rt]*ln;
- Sum[rt<<1|1]+=Add[rt]*rn;
- //清除本節點標記
- Add[rt]=0;
- }
- }
然後是區間查詢的函數:
- int Query(int L,int R,int l,int r,int rt){//L,R表示操作區間,l,r表示當前節點區間,rt表示當前節點編號
- if(L <= l && r <= R){
- //在區間內,直接返回
- return Sum[rt];
- }
- int m=(l+r)>>1;
- //下推標記,否則Sum可能不正確
- PushDown(rt,m-l+1,r-m);
-
- //累計答案
- int ANS=0;
- if(L <= m) ANS+=Query(L,R,l,m,rt<<1);
- if(R > m) ANS+=Query(L,R,m+1,r,rt<<1|1);
- return ANS;
- }
(5)函數調用:
-
- //建樹
- Build(1,n,1);
- //點修改
- Update(L,C,1,n,1);
- //區間修改
- Update(L,R,C,1,n,1);
- //區間查詢
- int ANS=Query(L,R,1,n,1);
四:非遞歸原理
點修改:
點修改下的區間查詢:
區間修改下的區間查詢:
區間修改:
五:非遞歸實現
(0)定義:
- //
- #define maxn 100007
- int A[maxn],n,N;//原數組,n爲原數組元素個數 ,N爲擴充元素個數
- int Sum[maxn<<2];//區間和
- int Add[maxn<<2];//懶惰標記
(1)建樹:
- //
- void Build(int n){
- //計算N的值
- N=1;while(N < n+2) N <<= 1;
- //更新葉節點
- for(int i=1;i<=n;++i) Sum[N+i]=A[i];//原數組下標+N=存儲下標
- //更新非葉節點
- for(int i=N-1;i>0;--i){
- //更新所有非葉節點的統計信息
- Sum[i]=Sum[i<<1]+Sum[i<<1|1];
- //清空所有非葉節點的Add標記
- Add[i]=0;
- }
- }
(2)點修改:
- //
- void Update(int L,int C){
- for(int s=N+L;s;s>>=1){
- Sum[s]+=C;
- }
- }
(3)點修改下的區間查詢:
- //
- int Query(int L,int R){
- int ANS=0;
- for(int s=N+L-1,t=N+R+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1){
- if(~s&1) ANS+=Sum[s^1];
- if( t&1) ANS+=Sum[t^1];
- }
- return ANS;
- }
(4)區間修改:
- <span style="font-size:14px;">//
- void Update(int L,int R,int C){
- int s,t,Ln=0,Rn=0,x=1;
- //Ln: s一路走來已經包含了幾個數
- //Rn: t一路走來已經包含了幾個數
- //x: 本層每個節點包含幾個數
- for(s=N+L-1,t=N+R+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,x<<=1){
- //更新Sum
- Sum[s]+=C*Ln;
- Sum[t]+=C*Rn;
- //處理Add
- if(~s&1) Add[s^1]+=C,Sum[s^1]+=C*x,Ln+=x;
- if( t&1) Add[t^1]+=C,Sum[t^1]+=C*x,Rn+=x;
- }
- //更新上層Sum
- for(;s;s>>=1,t>>=1){
- Sum[s]+=C*Ln;
- Sum[t]+=C*Rn;
- }
- } </span>
(5)區間修改下的區間查詢:
- //
- int Query(int L,int R){
- int s,t,Ln=0,Rn=0,x=1;
- int ANS=0;
- for(s=N+L-1,t=N+R+1;s^t^1;s>>=1,t>>=1,x<<=1){
- //根據標記更新
- if(Add[s]) ANS+=Add[s]*Ln;
- if(Add[t]) ANS+=Add[t]*Rn;
- //常規求和
- if(~s&1) ANS+=Sum[s^1],Ln+=x;
- if( t&1) ANS+=Sum[t^1],Rn+=x;
- }
- //處理上層標記
- for(;s;s>>=1,t>>=1){
- ANS+=Add[s]*Ln;
- ANS+=Add[t]*Rn;
- }
- return ANS;
- }
六:線段樹解題模型
(1):字符串哈希
- //
- #define K 137
- #define maxn 100001
- char str[maxn];
- int Pow[maxn];//K的各個次方
- struct Node{
- int KeyL,KeyR;
- Node():KeyL(0),KeyR(0){}
- void init(){KeyL=KeyR=0;}
- }node[maxn<<2];
- void PushUp(int L,int R,int rt){
- node[rt].KeyL=node[rt<<1].KeyL+node[rt<<1|1].KeyL*Pow[L];
- node[rt].KeyR=node[rt<<1].KeyR*Pow[R]+node[rt<<1|1].KeyR;
- }
(2):最長連續零
題目:Codeforces 527C Glass Carving 題解
- //
- #define maxn 200001
- using namespace std;
- int L[maxn<<2][2];//從左開始連續零個數
- int R[maxn<<2][2];//從右
- int Max[maxn<<2][2];//區間最大連續零
- bool Pure[maxn<<2][2];//是否全零
- int M[2];
- void PushUp(int rt,int k){//更新rt節點的四個數據 k來選擇兩棵線段樹
- Pure[rt][k]=Pure[rt<<1][k]&&Pure[rt<<1|1][k];
- Max[rt][k]=max(R[rt<<1][k]+L[rt<<1|1][k],max(Max[rt<<1][k],Max[rt<<1|1][k]));
- L[rt][k]=Pure[rt<<1][k]?L[rt<<1][k]+L[rt<<1|1][k]:L[rt<<1][k];
- R[rt][k]=Pure[rt<<1|1][k]?R[rt<<1|1][k]+R[rt<<1][k]:R[rt<<1|1][k];
- }
-
(3):計數排序
給定一個長度不超過10^5的字符串(小寫英文字母),和不超過5000個操作。
每個操作 L R K 表示給區間[L,R]的字符串排序,K=1爲升序,K=0爲降序。
最後輸出最終的字符串。
題目轉換成:
目標信息:區間的計數排序結果
點信息:一個字符
這裏,目標信息是符合區間加法的,但是爲了支持區間操作,還是需要擴充信息。
轉換後的線段樹結構:
區間信息:區間的計數排序結果,排序標記,排序種類(升,降)
點信息:一個字符
代碼中需要解決的四個問題(難點在於標記下推和區間修改):
1.區間加法
對應的字符數量相加即可(注意標記是不上傳的,所以區間加法不考慮標記)。
2.點信息->區間信息:把對應字符的數量設置成1,其餘爲0,排序標記爲false。
3.標記下推
明顯,排序標記是絕對標記,也就是說,標記對子節點是覆蓋式的效果,一旦被打上標記,下層節點的一切信息都無效。
下推標記時,根據自己的排序結果,將元素分成對應的部分,分別裝入兩個子樹。
4.區間修改
這個是難點,由於要對某個區間進行排序,首先對各個子區間求和(求和之前一定要下推標記,才能保證求的和是正確的)
由於使用的計數排序,所以求和之後,新順序也就出來了。然後按照排序的順序按照每個子區間的大小來分配字符。
操作後,每個子區間都被打上了標記。
最後,在所有操作結束之後,一次下推所有標記,就可以得到最終的字符序列。
掃描線求重疊矩形面積:
- //
- struct LINE{
- int x;//橫座標
- int y1,y2;//矩形縱向線段的左右端點
- bool In;//標記是入邊還是出邊
- bool operator < (const Line &B)const{return x < B.x;}
- }Line[maxn];
然後掃描的時候,需要兩個變量,一個叫PreL,存前一個x的操作結束之後的L值,和X,前一個橫座標。
- //
- int PreL=0;//前一個L值,剛開始是0,所以第一次計算時不會引入誤差
- int X;//X值
- int ANS=0;//存累計面積
- int I=0;//線段的下標
-
- while(I < Ln){
- //先計算面積
- ANS+=PreL*(Line[I].x-X);
- X=Line[I].x;//更新X值
- //對所有X相同的線段進行操作
- while(I < Ln && Line[I].x == X){
- //根據入邊還是出邊來選擇加入線段還是移除線段
- if(Line[I].In) Cover(Line[I].y1,Line[I].y2-1,1,n,1);
- else Uncover(Line[I].y1,Line[I].y2-1,1,n,1);
- ++I;
- }
- }
無論是求面積還是周長,掃描線的結構大概就是上面的樣子。
需要解決的幾個問題:
(1):線段樹中點的含義
- //
- int Rank[maxn],Rn;
- void SetRank(){//調用前,所有y值被無序存入Rank數組,下標爲[1..Rn]
- int I=1;
- //第一步排序
- sort(Rank+1,Rank+1+Rn);
- //第二步去除重複值
- for(int i=2;i<=Rn;++i) if(Rank[i]!=Rank[i-1]) Rank[++I]=Rank[i];
- Rn=I;
- //此時,所有y值被從小到大無重複地存入Rank數組,下標爲[1..Rn]
- }
- int GetRank(int x){//給定x,求x的下標
- //二分法求下標
- int L=1,R=Rn,M;//[L,R] first >=x
- while(L!=R){
- M=(L+R)>>1;
- if(Rank[M]<x) L=M+1;
- else R=M;
- }
- return L;
- }
此時,線段樹的下標的含義就變成:如果線段樹下標爲K,代表線段[ Rank[K] , Rank[K+1] )。
- //
- if(Line[I].In) Cover(GetRank(Line[I].y1),GetRank(Line[I].y2)-1,1,n,1);
- else Uncover(GetRank(Line[I].y1),GetRank(Line[I].y2)-1,1,n,1);
看着有點長,其實不難理解,只是多了一步從y值到離散之後的下標的轉換。(2):如何維護覆蓋線段長度
- //
- struct Node{
- int Cover;//區間整體被覆蓋的次數
- int L;//Length : 所代表的區間總長度
- int CL;//Cover Length :實際覆蓋長度
- Node operator +(const Node &B)const{
- Node X;
- X.Cover=0;//因爲若上級的Cover不爲0,不會調用子區間加法函數
- X.L=L+B.L;
- X.CL=CL+B.CL;
- return X;
- }
- }K[maxn<<2];
這樣定義之後,區間的信息更新是這樣的:
- //
- Node Query(int L,int R,int l,int r,int rt){
- if(L <= l && r <= R){
- return K[rt];
- }
- int m=(l+r)>>1;
- Node LANS,RANS;
- int X=0;
- if(L <= m) LANS=Query(L,R,ls),X+=1;
- if(R > m) RANS=Query(L,R,rs),X+=2;
- if(X==1) return LANS;
- if(X==2) return RANS;
- return LANS+RANS;
- }
維護線段覆蓋3次或以上的長度:
- //
- struct Nodes{
- int C;//Cover
- int CL[4];//CoverLength[0~3]
- //CL[i]表示被覆蓋了大於等於i次的線段長度,CL[0]其實就是線段總長
- }ST[maxn<<2];
- void PushUp(int rt){
- for(int i=1;i<=3;++i){
- if(ST[rt].C < i) ST[rt].CL[i]=ST[rt<<1].CL[i-ST[rt].C]+ST[rt<<1|1].CL[i-ST[rt].C];
- else ST[rt].CL[i]=ST[rt].CL[0];
- }
- }
這裏給出節點定義和PushUp().
(3):如何維護掃描線過程中線段的數量
- //
- struct Node{
- int cover;//完全覆蓋層數
- int lines;//分成多少個線段
- bool L,R;//左右端點是否被覆蓋
- Node operator +(const Node &B){//連續區間的合併
- Node C;
- C.cover=0;
- C.lines=lines+B.lines-(R&&B.L);
- C.L=L;C.R=B.R;
- return C;
- }
- }K[maxn<<2];
要維護被分成多少個線段,就需要記錄左右端點是否被覆蓋,知道了這個,就可以合併區間了。
掃描線求重疊矩形周長:
- //
- struct Node{
- int cover;//完全覆蓋層數
- int lines;//分成多少個線段
- bool L,R;//左右端點是否被覆蓋
- int CoverLength;//覆蓋長度
- int Length;//總長度
- Node(){}
- Node(int cover,int lines,bool L,bool R,int CoverLength):cover(cover),lines(lines),L(L),R(R),CoverLength(CoverLength){}
- Node operator +(const Node &B){//連續區間的合併
- Node C;
- C.cover=0;
- C.lines=lines+B.lines-(R&&B.L);
- C.CoverLength=CoverLength+B.CoverLength;
- C.L=L;C.R=B.R;
- C.Length=Length+B.Length;
- return C;
- }
- }K[maxn<<2];
- void PushUp(int rt){//更新非葉節點
- if(K[rt].cover){
- K[rt].CoverLength=K[rt].Length;
- K[rt].L=K[rt].R=K[rt].lines=1;
- }
- else{
- K[rt]=K[rt<<1]+K[rt<<1|1];
- }
- }
- int PreX=L[0].x;//前X座標
- int ANS=0;//目前累計答案
- int PreLength=0;//前線段總長
- int PreLines=0;//前線段數量
- Build(1,20001,1);
- for(int i=0;i<nL;++i){
- //操作
- if(L[i].c) Cover(L[i].y1,L[i].y2-1,1,20001,1);
- else Uncover(L[i].y1,L[i].y2-1,1,20001,1);
- //更新橫向的邊界
- ANS+=2*PreLines*(L[i].x-PreX);
- PreLines=K[1].lines;
- PreX=L[i].x;
- //更新縱向邊界
- ANS+=abs(K[1].CoverLength-PreLength);
- PreLength=K[1].CoverLength;
- }
- //輸出答案
- printf("%d\n",ANS);
求立方體重疊3次或以上的體積:
- //主席樹
- int L[maxnn],R[maxnn],Sum[maxnn],T[maxn],TP;//左右子樹,總和,樹根,指針
- void Add(int &rt,int l,int r,int x){//建立新樹,l,r是區間, x是新加入的數字的排名
- ++TP;L[TP]=L[rt];R[TP]=R[rt];Sum[TP]=Sum[rt]+1;rt=TP;//複製&新建
- if(l==r) return;
- int m=(l+r)>>1;
- if(x <= m) Add(L[rt],l,m,x);
- else Add(R[rt],m+1,r,x);
- }
- int Search(int TL,int TR,int l,int r,int k){//區間查詢第k大
- if(l==r) return l;//返回第k大的下標
- int m=(l+r)>>1;
- if(Sum[L[TR]]-Sum[L[TL]]>=k) return Search(L[TL],L[TR],l,m,k);
- else return Search(R[TL],R[TR],m+1,r,k-Sum[L[TR]]+Sum[L[TL]]);
- }
以上就是主席樹部分的代碼。
九:練習題
適合非遞歸線段樹的題目:
Codeforces 35E Parade : 題解
題意:給定若干矩形,下端挨着地面,求最後的輪廓形成的折線,要求輸出每一點的座標。
思路:雖然是區間修改的線段樹,但只需要在操作結束後一次下推標記,然後輸出,所以適合非遞歸線段樹。
URAL 1846 GCD2010 : 題解
題意:總共10萬個操作,每次向集合中加入或刪除一個數,求集合的最大公因數。(規定空集的最大公因數爲1)
Codeforces 12D Ball : 題解
題意:
給N (N<=500000)個點,每個點有x,y,z ( 0<= x,y,z <=10^9 )
對於某點(x,y,z),若存在一點(x1,y1,z1)使得x1 > x && y1 > y && z1 > z 則點(x,y,z)是特殊點。
問N個點中,有多少個特殊點。
提示:排序+線段樹
Codeforces 19D Points : 題解
題意:
給定最多20萬個操作,共3種:
1.add x y :加入(x,y)這個點
2.remove x y :刪除(x,y)這個點
3.find x y :找到在(x,y)這點右上方的x最小的點,若x相同找y最小的點,輸出這點座標,若沒有,則輸出-1.
提示:排序,線段樹套平衡樹
Codeforces 633E Startup Funding : 題解
這題需要用到一點概率論,組合數學知識,和二分法。
非遞歸線段樹在這題中主要解決RMQ問題(區間最大最小值問題),由於不帶修改,這題用Sparse Table求解RMQ是標答。
因爲RMQ詢問是在二分法之內求的,而Sparse Table可以做到O(1)查詢,所以用Sparse Table比較好,總複雜度O(n*log(n))。
不過非遞歸線段樹也算比較快的了,雖然複雜度是O(n*log(n)*log(n)),還是勉強過了這題。
掃描線題目:
遞歸線段樹題目:
給定一個長度不超過10^5的字符串(小寫英文字母),和不超過5000個操作。
每個操作 L R K 表示給區間[L,R]的字符串排序,K=1爲升序,K=0爲降序。
最後輸出最終的字符串。
題意:有一個板,h行,每行w長度的位置。每次往上面貼一張海報,長度爲1*wi .
每次貼的時候,需要找到最上面的,可以容納的空間,並且靠邊貼。
題意就是,給定n,m.
滿足m個條件的n個數,或說明不存在。
每個條件的形式是,給定 Li,Ri,Qi ,要求 a[Li]&a[Li+1]&...&a[Ri] = Qi ;
Codeforces 474E Pillar (線段樹+動態規劃): 題解
題意就是,給定10^5 個數(範圍10^15),求最長子序列使得相鄰兩個數的差大於等於 d。
POJ 2777 Count Color : 題解
給線段塗顏色,最多30種顏色,10萬個操作。
每個操作給線段塗色,或問某一段線段有多少種顏色。
30種顏色用int的最低30位來存,然後線段樹解決。
URAL 1019 Line Painting: 線段樹的區間合併 題解
給一段線段進行黑白塗色,最後問最長的一段白色線段的長度。
Codeforces 633H Fibonacci-ish II :題解
這題需要用到莫隊算法(Mo's Algorithm)+線段樹區間修改,不過是單邊界的區間,寫起來挺有趣。
另一種解法就是暴力,很巧妙的方法,高複雜度+低常數居然就這麼給過了。
樹套樹題目:
Codeforces 19D Points : 題解
題意:
給定最多20萬個操作,共3種:
1.add x y :加入(x,y)這個點
2.remove x y :刪除(x,y)這個點
3.find x y :找到在(x,y)這點右上方的x最小的點,若x相同找y最小的點,輸出這點座標,若沒有,則輸出-1.
提示:排序,線段樹套平衡樹
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