P,NP,NPc
首先說個基本概念----時間複雜度：並不是表示一個程序解決問題需要花多少時間，而是當問題規模擴大後，程序需要的時間長度增長得有多快。具有O(1)的時間複雜度，也稱常數級複雜度；數據規模變得有多大，花的時間也跟着變得有多長，這個程序的時間複雜度就是O(n)，比如找n個數中的最大值；而像冒泡排序、插入排序等，數據擴大2倍，時間變慢4倍的，屬於O(n^2)的複雜度。還有一些窮舉類的算法，所需時間長度成幾何階數上漲，這就是O(a^n)的指數級複雜度，甚至O(n!)的階乘級複雜度。不會存在O(2*n^2)的複雜度，因爲前面的那個“2”是係數，根本不會影響到整個程序的時間增長。同樣地，O(n^3+n^2)的複雜度也就是O(n^3)的複雜度。因此，我們會說，一個O(0.01*n^3)的程序的效率比O(100*n^2)的效率低，儘管在n很小的時候，前者優於後者，但後者時間隨數據規模增長得慢，最終O(n^3)的複雜度將遠遠超過O(n^2)。我們也說，O(n^100)的複雜度小於O(1.01^n)的複雜度。前面的幾類複雜度被分爲兩種級別，其中後者的複雜度無論如何都遠遠大於前者：一種是O(1),O(log(n)),O(n^a)等，我們把它叫做多項式級的複雜度，因爲它的規模n出現在底數的位置；另一種是O(a^n)和O(n!)型複雜度，它是非多項式級的，其複雜度計算機往往不能承受。人們會想到一個問題：會不會所有的問題都可以找到複雜度爲多項式級的算法呢？很遺憾，答案是否定的。
P（polynomial）問題：如果一個問題可以找到一個能在多項式的時間裏解決它的算法，那麼這個問題就屬於P問題.
NP(nondeterministic polynomial)問題:是指可以在多項式的時間裏驗證一個解的問題。NP問題的另一個定義是，可以在多項式的時間裏猜出一個解的問題。Hamilton迴路問題是這樣的：給你一個圖，問你能否找到一條經過每個頂點一次且恰好一次（不遺漏也不重複）最後又走回來的路（滿足這個條件的路徑叫做Hamilton迴路），我要找一個圖的哈密頓路徑，隨便給我一個解，我都可以在P時間內檢查它是不是哈密頓路徑，P問題是屬於NP問題的，因爲給定一個P問題，我可以在P時間內找到答案，那麼任意給我一個解，我簡單的比較解和答案是不是相同，就可以回答yes/no，整個時間是P，符合定義。
NPC(nondeterministic polynomial complete)問題:是這樣的一類問題，首先他是屬於NP的，而且他是NP問題裏面最難解決的問題,難到什麼程度？只要其中某個問題可以在P時間內解決，那麼所有的NP問題就都可以在P時間內解決了。證明一個問題是NPC問題也很簡單,先證明它至少是一個NP問題，再證明其中一個已知的NPC問題能約化到它.
NP-hard(nondeterministic ponomial hard)問題:是這樣的問題，只要其中某個問題可以在P時間內解決，那麼所有的NP問題就都可以在P時間內解決了。NP-c問題就是NP-hard問題。但注意NP-hard問題它不一定是NP問題，比如，下圍棋就是NP-hard問題，但不是NP問題，我們要在一個殘局上找一個必勝下法，告訴我們下一步下在哪裏。顯然，我們找不這個解，而且更難的是，就算有人給我了一個解，我們也無法在P時間內判斷它是不是正確的。NP-Hard問題滿足NPC問題定義的第二條但不一定要滿足第一條（就是說，NP-Hard問題要比NPC問題的範圍廣）。NP-Hard問題同樣難以找到多項式的算法，但它不列入我們的研究範圍，因爲它不一定是NP問題。即使NPC問題發現了多項式級的算法，NP-Hard問題有可能仍然無法得到多項式級的算法。事實上，由於NP-Hard放寬了限定條件，它將有可能比所有的NPC問題的時間複雜度更高從而更難以解決。
