貪心算法

貪心算法

　　所謂貪心算法是指，在對問題求解時，總是做出在當前看來是最好的選擇。也就是說，不從整體最優上加以考慮，他所做出的僅是在某種意義上的局部最優解。

　　貪心算法不是對所有問題都能得到整體最優解，但對範圍相當廣泛的許多問題他能產生整體最優解或者是整體最優解的近似解。

　　貪心算法的基本思路如下：

　　1.建立數學模型來描述問題。

　　2.把求解的問題分成若干個子問題。

　　3.對每一子問題求解，得到子問題的局部最優解。

　　4.把子問題的解局部最優解合成原來解問題的一個解。

　　實現該算法的過程：

　　從問題的某一初始解出發；

　　while 能朝給定總目標前進一步 do

　　求出可行解的一個解元素；

　　由所有解元素組合成問題的一個可行解。

　　下面是一個可以試用貪心算法解的題目，貪心解的確不錯，可惜不是最優解。

例題分析

　　[揹包問題]有一個揹包，揹包容量是M=150。有7個物品，物品不可以分割成任意大小。

　　要求儘可能讓裝入揹包中的物品總價值最大，但不能超過總容量。

　　物品 A B C D E F G

　　重量 35 30 60 50 40 10 25

　　價值 10 40 30 50 35 40 30

　　分析：

　　目標函數： ∑pi最大

　　約束條件是裝入的物品總重量不超過揹包容量：∑wi<=M( M=150)

　　（1）根據貪心的策略，每次挑選價值最大的物品裝入揹包，得到的結果是否最優？

　　（2）每次挑選所佔重量最小的物品裝入是否能得到最優解？

　　（3）每次選取單位重量價值最大的物品，成爲解本題的策略。

　　值得注意的是，貪心算法並不是完全不可以使用，貪心策略一旦經過證明成立後，它就是一種高效的算法。

　　貪心算法還是很常見的算法之一，這是由於它簡單易行，構造貪心策略不是很困難。

　　可惜的是，它需要證明後才能真正運用到題目的算法中。

　　一般來說，貪心算法的證明圍繞着：整個問題的最優解一定由在貪心策略中存在的子問題的最優解得來的。

　　對於例題中的3種貪心策略，都是無法成立（無法被證明）的，解釋如下：

　　（1）貪心策略：選取價值最大者。反例：

　　W=30

　　物品：A B C

　　重量：28 12 12

　　價值：30 20 20

　　根據策略，首先選取物品A，接下來就無法再選取了，可是，選取B、C則更好。

　　（2）貪心策略：選取重量最小。它的反例與第一種策略的反例差不多。

　　（3）貪心策略：選取單位重量價值最大的物品。反例：

　　W=30

　　物品：A B C

　　重量：28 20 10

　　價值：28 20 10

　　根據策略，三種物品單位重量價值一樣，程序無法依據現有策略作出判斷，如果選擇A，則答案錯誤。

　　【注意：如果物品可以分割爲任意大小，那麼策略3可得最優解】

　　 對於選取單位重量價值最大的物品這個策略，可以再加一條優化的規則：對於單位重量價值一樣的，則優先選擇重量小的！這樣，上面的反例就解決了。

　　 但是，如果題目是如下所示，這個策略就也不行了。

　　W=40

　　物品：A B C

　　重量：28 20 15

　　價值：28 20 15

　　　貪心算法當然也有正確的時候。求最小生成樹的Prim算法和Kruskal算法都是漂亮的貪心算法。

　　所以需要說明的是，貪心算法可以與隨機化算法一起使用，具體的例子就不再多舉了。（因爲這一類算法普及性不高，而且技術含量是非常高的，需要通過一些反例確定隨機的對象是什麼，隨機程度如何，但也是不能保證完全正確，只能是極大的機率正確）