二叉樹基礎及應用

二叉樹基礎：

剛看到堆排序，順便記錄一下關於樹的一些基本概念：

前言

前面介紹的棧、隊列都是線性結構(linear structure)。而樹是非線性結構(non-linear structure)。因此，樹中的元素之間一般不存在類似於線性結構的一對一的關係，更多地表現爲多對多的關係。直觀地看，它是數據元素(在樹中稱爲節點)按分支關係組織起來的結構。顯然，樹形結構是比線性結構更復雜的一種數據結構類型。

一、樹

樹的定義：樹是含有n個節點的有窮集合，其中有一個節點比較特殊稱爲根節點。在圖示樹時，用一條邊連接兩個有邏輯關係的節點，這個關係被稱爲父子關係。

二、二叉樹

二叉樹(Binary Tree)由節點的有限集合構成。這個集合或者爲空集，或者爲由一個根節點(root)和兩棵互不相交，分別稱爲這個根的左子樹(left subtree)和右子樹(right subtree)的二叉樹組成的集合。

一棵二叉樹的示意圖：

三、樹和二叉樹的主要區別

樹中節點的最大度數沒有限制，而二叉樹節點的度不超過2。
樹中節點的孩子節點，無左右之分，而二叉樹中是有區分的，即孩子是有區別的：左孩子、右孩子，且次序不可顛倒。
樹的結點個數至少爲1，而二叉樹的結點個數可以爲0。

四、常見概念

節點的度：某節點的度定義爲該節點孩子節點的個數。
葉子節點：度爲0的節點。
樹的度：一棵樹中，最大的節點的度稱爲樹的度。
節點的高度：從該節點起到葉子節點的最長簡單路徑的邊數。(簡單路徑：無重複邊的路徑)
樹的高度：根節點的高度。
節點的層數：從根開始定義起，根爲第1層，根的子節點爲第2層，以此類推。
數的層數：根節點的層數。
節點的深度：即該節點的層數。
樹的深度：根節點的深度。
外節點：葉子節點。
內節點：除葉子節點之外的節點。
滿二叉樹：二叉樹中節點的度只能是0或2。
完全二叉樹：除最後一層，每一層的節點數都達到最大。最後一層若是沒滿，則節點集中在左邊，空的只能是右邊。
擴充二叉樹：對二叉樹中度爲1的節點和葉子節點添加空節點，使之成爲滿二叉樹。

注：關於樹深度、層數、高度的定義會有不同的說法：有從0開始計數的，也有從1開始計數的。從哪兒開始計數不是關鍵，關鍵在於一致性，量的寫法要一致。

五、幾個量的關係

對於二叉樹，根節點是第一層，則第i層至多有 $2^{i-1}$ 個結點。若共有k層，則最多有節點 $2^k-1$ 個。
按層次順序對一棵有n個節點的完全二叉樹的所有節點從0到n-1編號。若父節點的編號是i，則左孩子的編號是2*i+1，右孩子的編號是2*i+2。(當然，這是在存在左右孩子的情況下)。同樣的，若孩子(無論左右孩子)節點是i，則父節點是(i-1)/2。
對於一棵滿二叉樹，外部節點或者說是葉子節點數是n，則內部節點數是n-1。
對於一棵二叉樹，用ni表示度爲i的節點個數，則n0=n2+1。證明如下：總節點數n=n0+n1+n2。用e表示邊數，則n=e+1，這是因爲除根節點外，每一個節點都和一條邊對應。同時，e=2n2+n1，推出n0+n1+n2=2n2+n1+1，化簡即得n0=n2+1。這個結論用語言表述：二叉樹中，葉子節點比度爲2的節點多一個。
有n個節點的完全二叉樹，樹高度，即logn向下取整，高度從0計數。
在二叉樹中，第i層的第一個節點(最左邊的節點)的編號是，層數從0計數。這個量在選擇排序：樹形選擇中用到了。

六、示意圖

二叉樹遍歷：

在計算機科學中，二叉樹是每個節點最多有兩個子樹的樹結構。通常子樹被稱作“左子樹”（left subtree）和“右子樹”（right subtree）。

一顆簡單的二叉樹

二叉樹的遍歷分爲三種：前(先)序、中序、後序遍歷。

設L、D、R分別表示二叉樹的左子樹、根結點和遍歷右子樹，則先(根)序遍歷二叉樹的順序是DLR，中(根)序遍歷二叉樹的順序是LDR，後(根)序遍歷二叉樹的順序是LRD。還有按層遍歷二叉樹。這些方法的時間複雜度都是O(n)，n爲結點個數。

假設我們有一個包含值的value和指向兩個子結點的left和right的樹結點結構。我們可以寫出這樣的過程：

先序遍歷(遞歸實現)：
visit(node)
print node.value
if node.left != null then visit(node.left)
if node.right != null then visit(node.right)

中序遍歷(遞歸實現)：
visit(node)
if node.left != null then visit(node.left)
print node.value
if node.right != null then visit(node.right)

後序遍歷(遞歸實現)：
visit(node)
if node.left != null then visit(node.left)
if node.right != null then visit(node.right)
print node.value

二叉樹創建和遍歷：

public class BinaryTree {  
  
    private Node root;  
      
    /** 
     *  
     * 內部節點類 
     * @author yhh 
     */  
    private class Node{  
        private Node left;  
        private Node right;  
        private int data;  
        public Node(int data){  
            this.left = null;  
            this.right = null;  
            this.data = data;  
        }  
    }  
      
    public BinaryTree(){  
        root = null;  
    }  
      
    /** 
     * 遞歸創建二叉樹 
     * @param node 
     * @param data 
     */  
    public void buildTree(Node node,int data){  
        if(root == null){  
            root = new Node(data);  
        }else{  
            if(data < node.data){  
                if(node.left == null){  
                    node.left = new Node(data);  
                }else{  
                    buildTree(node.left,data);  
                }  
            }else{  
                if(node.right == null){  
                    node.right = new Node(data);  
                }else{  
                    buildTree(node.right,data);  
                }  
            }  
        }  
    }  
      
    /** 
     * 前序遍歷 
     * @param node 
     */  
    public void preOrder(Node node){  
        if(node != null){  
            System.out.println(node.data);  
            preOrder(node.left);  
            preOrder(node.right);  
        }  
    }  
      
    /** 
     * 中序遍歷 
     * @param node 
     */  
    public void inOrder(Node node){  
        if(node != null){  
            inOrder(node.left);  
            System.out.println(node.data);  
            inOrder(node.right);  
        }  
    }  
      
    /** 
     * 後序遍歷 
     * @param node 
     */  
    public void postOrder(Node node){  
        if(node != null){  
            postOrder(node.left);  
            postOrder(node.right);  
            System.out.println(node.data);  
        }  
    }  
      
    public static void main(String[] args) {  
        int[] a = {2,4,12,45,21,6,111};  
        BinaryTree bTree = new BinaryTree();  
        for (int i = 0; i < a.length; i++) {  
            bTree.buildTree(bTree.root, a[i]);  
        }  
        bTree.preOrder(bTree.root);  
        bTree.inOrder(bTree.root);  
        bTree.postOrder(bTree.root);  
    }  
  
}

插入操作

二叉樹查找樹b插入操作x的過程如下：

1、若b是空樹，則直接將插入的結點作爲根結點插入。

2、x等於b的根結點的數據的值，則直接返回，否則。

3、若x小於b的根結點的數據的值，則將x要插入的結點的位置改變爲b的左子樹，否則。

4、將x要出入的結點的位置改變爲b的右子樹。

具體代碼：

 public void insert(T t)  
   {  
       rootTree = insert(t, rootTree);  
   }  
  
   public BinaryNode insert(T t,BinaryNode node)  
   {  
       if(node==null)  
       {  
           //新構造一個二叉查找樹  
           return new BinaryNode(t, null, null);  
       }  
       int result = t.compareTo(node.data);  
       if(result<</SPAN>0)  
          node.left= insert(t,node.left);  
       else if(result>0)  
          node.right= insert(t,node.right);  
       else  
           ;//doNothing  
       return node;  
   }

刪除操作：

對於二叉查找樹的刪除操作（這裏根據值刪除，而非結點）分三種情況：

不過在此之前，我們應該確保根據給定的值找到了要刪除的結點，如若沒找到該結點

不會執行刪除操作！

下面三種情況假設已經找到了要刪除的結點。

1、如果結點爲葉子結點（沒有左、右子樹），此時刪除該結點不會玻化樹的結構

直接刪除即可，並修改其父結點指向它的引用爲null.如下圖:

2、如果其結點只包含左子樹，或者右子樹的話，此時直接刪除該結點，並將其左子樹

或者右子樹設置爲其父結點的左子樹或者右子樹即可，此操作不會破壞樹結構。

3、當結點的左右子樹都不空的時候，一般的刪除策略是用其右子樹的最小數據（容易找到）代替要刪除的結點數據並遞歸刪除該結點（此時爲null），因爲右子樹的最小結點不可能有左孩子，所以第二次刪除較爲容易。 z的左子樹和右子樹均不空。找到z的後繼y，因爲y一定沒有左子樹，所以可以刪除y，並讓y的父親節點成爲y的右子樹的父親節點，並用y的值代替z的值.如圖：

具體代碼：

 public void remove(T t)  
   {  
       rootTree = remove(t,rootTree);  
   }   
   public BinaryNode remove(T t,BinaryNode node)  
   {  
       if(node == null)  
           return node;//沒有找到,doNothing  
       int result = t.compareTo(node.data);  
       if(result>0)  
           node.right = remove(t,node.right);  
       else if(result<</SPAN>0)  
           node.left = remove(t,node.left);  
       else if(node.left!=null&&node.right!=null)  
       {  
           node.data = findMin(node.right).data;  
           node.right = remove(node.data,node.right);  
       }  
       else  
           node = (node.left!=null)?node.left:node.right;  
       return node;  
             
   }

查找二叉樹節點：

在二叉查找樹中查找x的過程如下：
1、若二叉樹是空樹，則查找失敗。
2、若x等於根結點的數據，則查找成功，否則。
3、若x小於根結點的數據，則遞歸查找其左子樹，否則。
4、遞歸查找其右子樹。

具體代碼：

public TreeNode search(int Key) {  
        TreeNode node = root;  
        // 首先定義一個節點讓其指向根，在下面的循環中  
        // 只要節點值不等於要查找的節點值就進入循環如果沒有找到則返回null  
        while (node.keyValue != Key) {  
            if (Key < node.keyValue) { // 如果要查找的值小於節點值則指向左節點  
                node = node.leftNode;  
            } else { // 否則指向右節點  
                node = node.rightNode;  
            }  
            if (node == null) { // 如果節點爲空了則返回null  
                return null;  
            }  
        }  
        return node;  
    }

最小值和最大值：

思路：最大值一直往右走，最小值一直往左走。

具體代碼：

public int max() {  
    TreeNode node = root;  
    TreeNode parent = null;  
    while (node != null) {  
        parent = node;  
        node = node.rightNode;  
    }  
    return parent.keyValue;  
}  
  
  
public int min() {  
    TreeNode node = root;  
    TreeNode parent = null;  
    while (node != null) {  
        parent = node;  
        node = node.leftNode;  
    }  
    return parent.keyValue;  
}

樹的深度：

具體代碼：

int length(Node root){
     int depth1;
     int depth2;
     if(root == null) return 0;
     //左子樹的深度
     depth1 = length(root.right);
     //右子樹的深度
     depth2 = length(root.left);
     if(depth1>depth2)
	    return depth1+1;
     else
	    return depth2+1;
}

參考鏈接：

http://blog.sina.com.cn/s/blog_401823210101f8t6.html

http://blog.sina.com.cn/s/blog_937cbcc10101dmqm.html

http://www.cnblogs.com/wuchanming/p/4067951.html

http://blog.csdn.net/fansongy/article/details/6798278

http://www.cricode.com/3489.html

http://www.cricode.com/3212.html

http://blog.csdn.net/sjf0115/article/details/8645991

http://www.cnblogs.com/vamei/archive/2013/03/17/2962290.html

http://blog.csdn.net/sysu_arui/article/details/7865876

http://blog.163.com/xiaopengyan_109/blog/static/14983217320108168618624/

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二叉樹基礎及應用

前言

一、樹

二、二叉樹

三、樹和二叉樹的主要區別

四、常見概念

五、幾個量的關係

六、示意圖

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