二元函數的極值問題，一般可以利用偏導數來解決。
必要條件：
設函數z=f(x,y)在點(x0,y0)具有偏導數，且在點（x0，y0）處有極值，則它在該點的偏導數必然爲零：
fx (x0 ,y0 )=0,fy (x0 ,y0 )=0
充分條件：
設函數z=f(x,y)在點(x0 ,y0 )的某鄰域內連續且有一階及二階連續偏導數，有fx (x0 ,y0 )=0,fy (x0 ,y0 )=0，令
fxx( x_0, y_0)=A f_xy(x0 ,y0 )=B
fyy( x_0, y_0$)=C
則f(x,y)在點(x0 ,y0 )處是否取得極值的條件如下：
1、AC-B2 >0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；
2、AC-B2 <0時沒有極值
3、AC-B2 =0時可能有極值，也可能沒有極值，需另作討論。
例如求函數 f(x,y)=x3 -y3 +3x2 +3y2 -9x的極值：
fx (x,y)=3x2 +6x-9=0
fy (x,y)=-3y2 +6y=0
求得駐點爲：(1,0),(1,2),(-3,0),(-3,2)
再求出二階偏導數
fxx(x,y) =6x+6
fxy(x,y) =0
fyy(x,y) =-6y+6
對各駐點進行判斷：
在點（1,0）處，AC-B2 =12*6>0，又A>0，所以函數在（1,0）處有極大值f(1,0)=-5，
其他以此類推。
拉格朗日乘數法：
要找函數z=f(x,y)在附加條件φ (x,y)=0下的可能極值點，可以先構成輔助函數：
F(x,y)=f(x,y)+λφ (x,y)
其中λ 爲某一常數。求其對x與y的一階偏導數，並使之爲零，然後與φ (x,y)=0聯立起來：
fx (x,y)+λφx (x,y)=0,
fy (x,y)+λφy (x,y)=0,
φ (x,y)=0
解出x，y及λ ，則其中x，y就是函數f(x,y)在附加條件
φ (x,y)=0下的可能極值點的座標。
例如：
求表面積爲a2而面積爲最大的長方體的體積。解：設長方體的三棱長爲x,y,z,則問題就是在條件： \varphi$(x,y,z)=2xy+2yz+2xz-a2=0
下，求函數：
V=xyz (x>0,y>0,z>0)
的最大值。
構成輔助函數：
F(x,y,z)=xyz-λ (2xy+2yz+2xz-a2 )
求其對x,y,z的偏導數，並使之爲零，得到：
yz+2λ (y+z)=0
xz+2λ (x+z)=0
xy+2λ (y+x)=0
與條件函數一起聯合解，得出：
x=y=z=(6√6) a
