1.飯後，姐姐洗碗，妹妹把姐姐洗過的碗一個一個地放進碗櫥摞成一摞。一共有n個不同的碗，洗前也是摞成一摞的，也許因爲小妹貪玩而使碗拿進碗櫥不及時，姐姐則把洗過的碗摞在旁邊，問：小妹摞起的碗有多少種可能的方式？
2.給定n個數，有多少種出棧序列？
3.一個有n個1和n個-1組成的字串，且前k個數的和均不小於0，那這種字串的總數爲多少？
這三個問題具有相同的結構，三個問題是可以互相轉化。將姐姐放碗看做入棧操作，將妹妹放碗看做出棧操作。則問題一變爲問題二。將入棧操作記爲1，出棧記爲-1，問題2變爲問題3。
問題的答案是一個著名的數列，卡特蘭數。該問題的代數解法比較抽象，而運用到幾何上，用圖片來描述，卻有讓人恍然大悟的感覺。
事實上，可以認爲問題是，任意兩種操作，要求每種操作的總次數一樣，且進行第k次操作2前必須先進行至少k次操作1。我們假設一個人在原點，操作1是此人沿右上角45°走一個單位（一個單位設爲根號2，這樣他第一次進行操作1就剛好走到（1,1）點），操作2是此人沿右下角45°走一個單位。第k次操作2前必須先進行至少k次操作1，就是說明所走出來的折線不能跨越x軸走到y=-1這條線上！在進行n次操作1和n此操作2後，此人必將到到達（2n，0）！若無跨越x軸的限制，折線的種數將爲C（2n，n），即在2n次操作中選出n次作爲操作1的方法數。
現在只要減去跨越了x軸的情況數。對於任意跨越x軸的情況，必有將與y=-1相交。找出第一個與y=-1相交的點k，將k點以右的折線根據y=-1對稱（即操作1與操作2互換了）。可以發現終點最終都會從（2n，0）對稱到（2n，-2）。由於對稱總是能進行的，且是可逆的。我們可以得出所有跨越了x軸的折線總數是與從（0,0）到（2n,-2）的折線總數。而後者的操作2比操作1要多0-（-2）=2次。即操作1爲n-1,操作2爲n+1。總數爲C（2n，n-1）。
