有 n 個硬幣，一開始全部正面朝上，每次可以翻轉 k 個硬幣（ k 小於 n ），那麼至少要 p 次翻轉，才能讓所有硬幣反面朝上，求 p 的值

原創

2020-02-20 23:47

——情況1：若 n 爲奇數——

1.1 若 k 爲偶數 => 無解

證明：

若要讓所有硬幣最終翻面，則每個硬幣都要翻面奇數次，共有奇數個硬幣，所以所有硬幣的翻面總數爲奇數，但每次只能翻面偶數個硬幣，顯然不可能。證畢！

1.2 若 k 爲奇數 => p爲不小於 n/k 的最小奇數

（例1：n=7，k=5，那麼 n/k =1.4 則 p=3 ）
（例2：n=25，k=7，那麼 n/k= 25/7 則 p=5）

證明：

必要性：
若要讓所有硬幣最終翻面，則每個硬幣都要翻面奇數次，共有奇數個硬幣，所以所有硬幣的翻面總數爲奇數，而每次只能翻奇數個硬幣，所以總的翻轉次數必然是奇數次，而翻轉次數不到 n/k 次時，並不能使所有硬幣至少翻面1次，所以p至少是不小於 n/k 的最小奇數。

充分性：

當時，只要3次翻轉即可

給硬幣編號爲1-n，
第1次翻轉編號：1~n-2
第2次翻轉編號：1~n-3、n-1
第3次翻轉編號：1~n-3、n
Done！（前 n-3 個硬幣翻面 3 次，後 3 個翻面 1 次）

當 $\frac{n}{3}\leq k<n-2$ 時，依然只要3次翻轉

只要讓前面的 $\frac{3k-n}{2}$ 個硬幣翻轉 3 次，後面的 $\frac{3n-3k}{2}$ 個硬幣翻轉 1 次即可。這是顯然可以做到的。

當 $k<\frac{n}{3}$ 時，需要p次翻轉（p爲不小於 n/k 的最小奇數）

根據定義， $pk\geq n$ ,

，由於

，所以

這意味者翻轉 p 次後，平均來說，每個硬幣翻面次數小於3次。只要讓前面的 $\frac{pk-n}{2}$ 個硬幣翻轉 3 次，後面的 $\frac{3n-pk}{2}$ 個硬幣翻轉 1 次即可。

——情況2：若 n 爲偶數——

2.1 若 $\frac{n}{2}<k<n-1$ 且爲偶數=> p=3

只要讓前面的 $\frac{3k-n}{2}$ 個硬幣翻轉 3 次，後面的 $\frac{3n-3k}{2}$ 個硬幣翻轉 1 次即可。
這個情況，和 n 爲奇數是類似的。

2.2 若 $\frac{n}{2}<k< n-1$ 且爲奇數=>p爲不小於 n/(n-k) 的最小偶數

這種情況比較特殊。
首先由奇偶性得出翻轉次數必爲偶數，而每一枚硬幣翻轉的次數爲奇數，則每一枚硬幣至少不翻轉 1 次。
其次，每次有 n-k 枚不翻轉，所以 p 必須不小於 n/(n-k) 。
方案：讓前面 $\frac{kp-np+3n}{2}$ 硬幣翻轉 p-1 次，後面 $\frac{np-kp-n}{2}$ 硬幣翻轉 p-3 次

2.3 若 $k\leq \frac{n}{2}$ 且爲偶數=> p爲不小於 n/k 的最小整數

當 $k=\frac{n}{2}$ 時，顯然 p=2；
反之，只要讓前面的 $\frac{pk-n}{2}$ 個硬幣翻轉 3 次，後面的 $\frac{3n-pk}{2}$ 個硬幣翻轉 1 次即可。

2.4 若 $k\leq \frac{n}{2}$ 且爲奇數=> p爲不小於 n/k 的最小偶數

當 $k=\frac{n}{2}$ 時，顯然 p=2；
反之，首先由奇偶性得出翻轉次數必爲偶數，
只要讓前面的 $\frac{pk-n}{2}$ 個硬幣翻轉 3 次，後面的 $\frac{3n-pk}{2}$ 個硬幣翻轉 1 次即可。

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綜上所述：

若 n 爲奇數：