分配問題與匈牙利算法

例1

假如你是個玩具工廠的銷售經理，你現在有三個銷售人員要去不同城市見買家。你的銷售人員分別在在奧斯丁，得克薩斯州；波士頓、馬里蘭州；和芝加哥，伊利諾伊州。你想讓他們飛往其他三個城市：丹佛，埃德蒙頓，法戈。下面的表格顯示了這些城市之間飛機票的費用.。

From \ To	Denver	Edmonton	Fargo
Austin	250	400	350
Boston	400	600	350
Chicago	200	400	250

你應該讓你的銷售人員前往哪個城市以獲取最小的費用？
可以用一個花費矩陣來代表上圖數據：

⎡ ⎣ ⎢ 250400200400600400350350250 ⎤ ⎦ ⎥ (1)

讓我們看一下可能的分配方案：

總共需要花費 250 + 600 + 250 = 1100.
以下是另一種分配方案：

總共需要花費 250 + 350 + 400 = 1000.
檢查完所有六種可能的分配方案後我們得到最有的分配方案是：

總共需要花費 400 + 350 + 200 = 950.
即你的銷售人員應該從奧斯汀飛往埃德蒙頓，從波斯頓飛往法戈，從芝加哥飛往丹佛。
遍歷所有可能的情況對於此問題是可行的，但是如果是從十個城市飛往另外十個城市呢？那麼便有n！種可能的情況，顯然，遍歷不可行。

定理

如果從成本矩陣的任一行或列的所有項中添加或減去數字，那麼，所得矩陣的最優分配也是原始矩陣的最優分配。

匈牙利算法

下面的算法將上述定理應用到一個給定的n×n成本矩陣上求出最優分配。

每行的所有數字減去該行的最小項
每列的所有數字減去該列的最小項
使用橫線或者豎線穿過矩陣中的所有0，並記錄達成此目的所需的最少線路總數
如果線路總數等於矩陣的行數或者列數n，那麼一種最優的分配是可能的，完成。如果總數小於n，執行下一步
找到線路未覆蓋的地方的最小項，存在未覆蓋的項的行減去該項，然後將該項添加到覆蓋的列中

例2

題目同例1
解題方法：
第一步：第一行減去250，第二行減去350，第三行減去200

第二步：第一列減去0，第二列減去150，第三列減去0

第三步：劃線以包含全部0

第四步：劃線數等於行數，最優分配找到。每行每列選擇一個0，對應的原矩陣數字相加即爲最小分配。

例3

一家建築公司有四個大型推土機位於四個不同的車庫。推土機被轉移到四個不同的建築工地。推土機和建設用地之間的距離如下（單位：公里）。

推土機 \ 工地	A	B	C	D
1	90	75	75	80
2	35	85	55	65
3	125	95	90	105
4	45	110	95	115

我們應該怎麼分配推土機使得推土機總共行駛的里程最小？
第一步：第一行減去75，第二行減去35，第三行減去90，第四行減去45

第二步：第一列減去0，第二列減去0，第三列減去0，第四列減去5。

第三步：劃線以包含全部0

第四步：因爲線路總數小於4，故執行第五步
第五步：注意到5是未覆蓋區域的最小值，存在未覆蓋區域的行每行減去5

然後被覆蓋的列每列加5

然後再執行步驟3：劃線以包含全部0

因爲線路數量小於4，執行步驟5：注意到20是未覆蓋區域的最小值，存在未覆蓋區域的行每行減去20

然後覆蓋的每列加20

跳轉到步驟3：劃線覆蓋所有0

第四步：因爲最小線路總數等於4，故存在最優分配

每行每列選擇一個0，對應的原矩陣數字相加即爲最小分配。

故推土機1去工地D，推土機2去工地C，推土機3去工地B，推土機4去工地A。