盧卡斯定理的詳解和線性求解逆元（含題目）

【盧卡斯定理】

盧卡斯定理是用來求解：Cmn+m$C_{n+m}^m$ %mod的值，而mod是一個質數。

我也是看了很長時間的講解纔看懂的（感覺好弱啊~~~）

這張圖是我認爲講解最全的，（可能一時看不懂，我再補充一下）。

首先，你要看懂

(1+x)p≡1+xp%p$$(1+x{)}^p\equiv 1+x^p\mathrm{\%}p$$

並推出

(1+x)a≡(1+x)a0∗(1+xp)a1∗∙∙∙∗((1+x)pk)ak%p$$(1+x{)}^a\equiv (1+x{)}^{a_0}\ast (1+x^p{)}^{a_1}\ast •••\ast ((1+x{)}^{p^k}{)}^{a_k}\mathrm{\%}p$$

以上都不難，最難的是最後一步，我一直沒有想明白，想了很久才明白的（太菜了）。
就是左右兩邊的xb$x^b$ 的項係數是相同的，
左邊是

Cba∗xb$$C_a^b\ast x^b$$

右邊是,每一項提取一個式子

Cb0a0xb0∗Cb1a1xpb1∗Cb2a2xp2b2∗∙∙∙∗Cbkakxpkbk$$C_{a_0}^{b_0}{x}^{b_0}\ast C_{a_1}^{b_1}{x}^{p{b}_1}\ast C_{a_2}^{b_2}{x}^{p^2{b}_2}\ast •••\ast C_{a_k}^{b_k}{x}^{p^k{b}_k}$$

=Cb0a0∗Cb1a1∗Cb2a2∗∙∙∙∗Cbkak∗xb0+pb1+p2b2+∙∙∙+pkbk$$=C_{a_0}^{b_0}\ast C_{a_1}^{b_1}\ast C_{a_2}^{b_2}\ast •••\ast C_{a_k}^{b_k}\ast x^{b_0+p{b}_1+p^2{b}_2+•••+p^k{b}_k}$$

而b0+pb1+p2b2+∙∙∙+pkbk$b_0+p{b}_1+p^2{b}_2+•••+p^k{b}_k$ 是p進制的b，所以是xb$x^b$ 所以

Cba=Cb0a0∗Cb1a1∗Cb2a2∗∙∙∙∗Cbkak$$C_a^b=C_{a_0}^{b_0}\ast C_{a_1}^{b_1}\ast C_{a_2}^{b_2}\ast •••\ast C_{a_k}^{b_k}$$

證明完畢了！

也可以用遞歸的方法來寫：Lucas(a,b)=Lucas(n%p,m%p)*Lucas(n/p,m/p)%p;
繼續對Lucas(n/p,m/p)遞歸即可。

【線性求解逆元】

這個博客講解的很清楚了：線性求解逆元
求解n以內的逆元，時間複雜度O(n)
設 t=M/i , k=M%i;

inv數組記錄的就是i的逆元。

下面是一道例題：
盧卡斯定理

代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
using namespace std;

typedef long long ll;
const int maxn=1e5+9;

ll factorial[maxn];//記錄階乘
ll inelement[maxn];//記錄，先記錄每個數的逆元，再記錄階乘的逆元

ll lucas(int n,int m,int mod)
{
    if(n<m)
        return 0;
    else if(n<mod)
        return factorial[n]*inelement[m]*inelement[n-m]%mod;
    else return lucas(n%mod,m%mod,mod)*lucas(n/mod,m/mod,mod)%mod;
}
int main()
{
    int t,n,m,mod;
    scanf("%d",&t);
    while(t--)
    {
        scanf("%d%d%d",&n,&m,&mod);
        factorial[0]=factorial[1]=inelement[0]=inelement[1]=1;
        //階乘
        for(int i=2;i<=m+n;i++)
        {
            factorial[i]=factorial[i-1]*i%mod;
        }

        //逆元，先先求每一個數的逆元，線性求解

        for(int i=2;i<=m+n;i++)
        {
            inelement[i]=(mod-mod/i)*inelement[mod%i]%mod;
        }

        //求階乘的逆元
        for(int i=2;i<=m+n;i++)
        {
            inelement[i]=inelement[i-1]*inelement[i]%mod;
        }
        printf("%lld\n",lucas(n+m,m,mod));

    }
    return 0;
}