逆元淺析

單獨的考逆元，現在已經不多了
但是掌握很有必要

逆元是什麼

當題目中最終答案太大時，往往會要求我們模一個數。這樣的題往往是dp$dp$ 、遞推之類。所以我們要步步取模。但如果某一步中出現了除法，或者一道概率dp$dp$ 要求答案取模，這時就要涉及到模意義下的除法。
例如：a/b%m.這時我們將式子變形得到 a×1bmodm$a\times \frac{1}{b}\mathrm{mod}m$ 這樣就得到了一個乘法。
設c是逆元，得b−1≡c(modm)$b^{-1}\equiv c(modm)$
得b×c≡1(modm)$b\times c\equiv 1(modm)$

怎麼求單個的逆元

顯然可以用exgcd$exgcd$ 解這個方程。
b×c+m×k=1$b\times c+m\times k=1$
求得最小的一個c$c$ 即可。
還有，注意到了這個方程是不一定有解的，意思就是說不一定有逆元。但注意到m$m$ 爲質數一定有解。這爲接下來的線性求逆元提了個醒：只有質數才能線性求逆元。
另外一種做法，是使用歐拉定理。
有歐拉定理有：

aϕ(p)≡1$$a^{\varphi (p)}\equiv 1$$

所以逆元可求爲bϕ(m)−1$b^{\varphi (m)-1}$
注意到這個不能判斷是否有逆元，使用時要注意。然後具體操作時，只需打一個快速冪就可以了。（一般模的是質數，所以ϕ(p)=p−1$\varphi (p)=p-1$ ）;

怎麼線性求逆元

逆元有一種線性求法，就是在O(n)$O(n)$ 內求1～n的逆元。
具體推理與操作過程如下;

p=k×i+r$$p=k\times i+r$$

p≡0(modp)$$p\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

k×i+r≡0(modp)$$k\times i+r\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

爲了強行構造逆元，我們同乘i−1×r−1$i^{-1}\times r^{-1}$

k×r−1+i−1≡0(modp)$$k\times r^{-1}+i^{-1}\equiv 0(\mathrm{mod}p)$$

i−1≡−k×r−1(modp)$$i^{-1}\equiv -k\times r^{-1}(\mathrm{mod}p)$$

i−1≡−[pi]×(pmodi)−1(modp)$$i^{-1}\equiv -[\frac{p}{i}]\times (p\mathrm{mod}i{)}^{-1}(\mathrm{mod}p)$$

實際操作中仍有以下兩點需要注意

1. 注意到右邊是一個負數,實際中要加p再去模。
2. 注意到這裏只能求比p小的逆元，實際上比p大的模一個p就可以了。

代碼

會後續補充…….