編程之美 計算1的個數 1～n中1的個數 －－－ 二進制中1的個數 －－－總結

1.給定一個十進制整數N,求出從1到N的所有整數中出現”1”的個數。

例如：N=2，1,2出現了1個“1”。

N=12，1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12。出現了5個“1”。

2.給定一個十進制整數N，求其對應的二進制中“1”的個數

問題一

方法一：每個數字一位一位的計算（效率  不好）

#include <stdio.h>

//計算每個數字中“1”的個數
int count1InAInteger(int n)
{
    int count = 0;
    while (n != 0) {
        count += (n % 10 == 1) ? 1 : 0;
        n /= 10;
    }
    return count;
}

int computer1InNum(int n)
{
    int iCount = 0;
    for (int i = 1 ; i <= n ; i++)
    {
        iCount += count1InAInteger(i);
    }
    return iCount;
}


int main(int argc, const char * argv[]) {
    printf("%d\n",computer1InNum(23));
    return 0;
}

方法2:（針對每個數每一位上肯可能出現“1”的次數）

1位數的情況：

       在解法二中已經分析過，大於等於1的時候，有1個，小於1就沒有。

2位數的情況：

       N=13,個位數出現的1的次數爲2，分別爲1和11，十位數出現1的次數爲4，分別爲10,11,12,13，所以f(N) = 2+4。

       N=23,個位數出現的1的次數爲3，分別爲1，11，21，十位數出現1的次數爲10，分別爲10~19，f(N)=3+10。

       由此我們發現，個位數出現1的次數不僅和個位數有關，和十位數也有關，如果個位數大於等於1，則個位數出現1的次數爲十位數的數字加1；如果個位數爲0，個位數出現1的次數等於十位數數字。而十位數上出現1的次數也不僅和十位數相關，也和個位數相關：如果十位數字等於1，則十位數上出現1的次數爲個位數的數字加1，假如十位數大於1，則十位數上出現1的次數爲10。

       3位數的情況:

       N=123

       個位出現1的個數爲13:1,11,21，…，91,101,111,121

       十位出現1的個數爲20:10~19,110~119

       百位出現1的個數爲24:100~123

       我們可以繼續分析4位數，5位數，推導出下面一般情況： 

       假設N，我們要計算百位上出現1的次數，將由三部分決定：百位上的數字，百位以上的數字，百位一下的數字。

       如果百位上的數字爲0，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12013，百位出現1的情況爲100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個。等於更高位數字乘以當前位數，即12 * 100。

       如果百位上的數字大於1，則百位上出現1的次數僅由更高位決定，比如12213，百位出現1的情況爲100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，12100~12199共1300個。等於更高位數字加1乘以當前位數，即（12 + 1）*100。

        如果百位上的數字爲1，則百位上出現1的次數不僅受更高位影響，還受低位影響。例如12113，受高位影響出現1的情況：100~199,1100~1199,2100~2199，…，11100~11199，共1200個，但它還受低位影響，出現1的情況是12100~12113，共114個，等於低位數字113+1。

       綜合以上分析，寫出如下代碼：

#include <stdio.h>
int count1InAInteger(int n)
{
    int count = 0;
    int i = 1;
    int current = 0,after = 0,before = 0;
    while((n / i) != 0)
    {
        current = (n / i) % 10;
        before = n / (i * 10);
        after = n - (n / i) * i;
        if (current > 1)
            count = count + (before + 1) * i;
        else if (current == 0)
            count = count + before * i;
        else if(current == 1)
            count = count + before * i + after + 1;
        i = i * 10;
    }
    return count;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    printf("%d\n",count1InAInteger(23));
    return 0;
}

問題二

方法一：（位運算）

int count(unsigned int n)
{
    int sum = 0;
    while(n)
    {
        sum += n & 1;
        n >>= 1;
    }
    return sum;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    printf("%d\n",count(10));
    return 0;
}

方法二：（除法）

int count(unsigned int n)
{
    int sum = 0;
    while(n)
    {
        if(n % 2 == 1)
            sum++;
        n /= 2;
    }
    return sum;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    printf("%d\n",count(10));
    return 0;
}

3優化

int count(unsigned int n)
{
    int sum = 0;
    while(n)
    {
        n &= (n-1);
        sum++;
    }
    return sum;
}

int main(int argc, const char * argv[]) {
    printf("%d\n",count(10));
    return 0;
}