Codeforces #341 div 2 E. Wet Shark and Blocks(矩陣快速冪)

題目鏈接：

http://codeforces.com/contest/621/problem/E

題目大意：

給b個block，每個block有n個數，現在從每個block裏面選一個數然後首尾串起來組成一個新的數，對這個數取模x以後，問結果等於k的種類數。

範圍：

2 ≤ n ≤ 50 000, 1 ≤ b ≤ 109, 0 ≤ k < x ≤ 100, x ≥ 2

思路：

首先可以想到用dp，設dp[i][j]爲選到第i個block時候取模爲j的種類數，此時有：dp[i+1][(j*10+k)%mod]+=dp[i][j]*num[k]。（1<=k<=9）

但是這裏的b很大，關係又是線性的，所以想到用矩陣快速冪。

我們可以構造出一個矩陣m[i][j]，表示從i到j的種類數。

初始情況下，有一個dp[x]={1,0,0，……}。

那麼只看一個block的情況的時候，就有dp[x]*m[x][x]，此時獲得的行矩陣就是隻選一個的時候的情況數。

2個的時候，就是dp[x]*m[x][x]*m[x][x]。

……

這樣就是dp[x]*(m[x][x])^n。

而初始的時候的m[x][x]，我們可以知道m[i][(j*10+k)%x]+=num[j]。

代碼：

#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<algorithm>
#include<iostream>
#define mod 1000000007
#define ll __int64 
using namespace std;
struct Mat{
	ll mat[101][101];
	void init(){
		memset(mat,0,sizeof(mat));
	}
};
int M,cnt[11],x;
Mat operator * (Mat a, Mat b) {  
    Mat c;  
    memset(c.mat, 0, sizeof(c.mat));  
    int i, j, k;  
    for(k = 0; k < M; ++k) {  
        for(i = 0; i < M; ++i) {  
            for(j = 0; j < M; ++j) {  
                c.mat[i][j] += (a.mat[i][k] * b.mat[k][j]);  
                c.mat[i][j]=(c.mat[i][j]+mod)%mod;  
            }  
        }  
    }  
    return c;  
}  
Mat operator ^ (Mat a, ll  k) {  
    Mat c;  
    int i, j;  
    for(i = 0; i < M; ++i)  
        for(j = 0; j < M; ++j)  
            c.mat[i][j] = (i == j);    //初始化爲單位矩陣  
  
    for(; k; k >>= 1) {  
        if(k&1) c = c*a;  
  
        a = a*a;  
    }  
    return c;  
}  
int main()
{
	Mat a1,a2;
	int n,i,j,k,K,b,a[50005];
	while(~(scanf("%d",&n)))
	{
		memset(cnt,0,sizeof(cnt));
		a2.init();
		scanf("%d%d%d",&b,&K,&x);
		for(i=1;i<=n;i++)
		{
		scanf("%d",&a[i]);
	    cnt[a[i]]++;
	}
		M=x;
		for(i=0;i<x;i++)
		for(j=0;j<=9;j++)
		{
			a2.mat[i][(i*10+j)%x]+=cnt[j];
		}
		a1.init();
		a1.mat[0][0]=1;
		a2=a2^b;
		a1=a1*a2;
		printf("%I64d\n",a1.mat[0][K]);
	}
}