電路佈線問題

電路佈線問題

   製作電路板時，將n條連線分佈到若干絕緣層上。在同一層的連線不相交。電路佈線問題就是要確定將哪些連線安排到第一層上，使該層上有儘可能多的連線。

  輸入一個整數n代表接線柱的數量，輸入n個數代表與上接線柱連接的下接線柱編號

樣例輸入

10

8 7 4 2 5 1 9 3 10 6

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4

解：

例如，給定如圖的電路板。從10條連線中，選取不相交的最大連線集合。用a（i）=j表示要求上排的第i個接線柱要求接到下排的第 j 個接線柱。

  在圖中，a（1）=8 ， a（2）=7， a（1）=4， a（1）=2， a（1）=5， a（1）=1， a（1）=9， a（1）=3， a（1）=10， a（1）=6。

  如果使得（i ， a[i]）與（j ， a[j]）不相交，假設 j>I 則兩條線不相交的充分必要條件爲 a[j]>a[i]。在製作電路板時，要求將這n條連線分佈到若干絕緣層上。在同一層上的連線不相交。電路佈線問題要確定將哪些連線安排在第一層上，使得該層上有儘可能多的連線。換句話說，該問題要求確定所有導線集的最大不相交子集。

  記N（i，j）{（t，a(t)） |  t<=i，a(t)<=j }代表上接線柱小於等於i並且下接線柱小於等於j的連線的集合。N（i，j）的最大不相交子集爲MNS（i，j），假設MNS（i，j）中的連線數目爲dp[i][j];
下面對MNS（i，j）進行判斷區分：

（1） 當i = 1時

①如果j>=a[i]，爲了考慮更多的連線，則（i，a[i]）應當在集合MNS（i，j） 中，即dp（i，j）=1；

②如果j<a[i]，此時則（i，a[i]）不應放在集合MNS（i，j） 中，即dp（i，j）=0

（2）當i >1時

①j<a（i）。

此時，（i，a（i））不屬於MNS（i，j）。故在這時，MNS（i，j） =MNS（i-1，j），從而dp（i，j）=dp（i-1，j）。

②j >=a(i)。

  若(i, a(i))∈MNS(i,j)，則對任意(t, a(t))∈MNS(i,j)有t <i且a(t)<a(i)；否則，(t,a(t))與(i,a(i))相交。在這種情況下MNS(i,j)-{(i,a(i))}是N(i-1,a(i)-1)的最大不相交子集。否則，子集MNS(i-1,a(i)-1)∪{(i,a(i))}包含於N(i,j)是比MNS(i,j)更大的N(i,j)的不相交子集。這與MNS(i,j)的定義相矛盾。

  若(i, a(i))不屬於MNS(i,j)，則對任意(t, a(t))∈MNS(i,j)，有t<i。從而MNS(i,j)包含於N(i-1,j)，因此，dp(i,j)≤dp(i-1,j)。另一方面，MNS(i-1,j)包含於N(i,j),故又有dp(i,j)≥dp(i-1,j)，從而Size（i,j）=Size(i-1,j)。

（i，a[i]）屬於MNS(i,j)，則dp(i,j)=dp(i-1,a[i])+1;

（i，a[i]）不屬於MNS(i,j)，則dp(i,j)=dp(i-1,j);

所以遞推公式：

1）當i=1時

(2)當i>1時

#include <stdio.h>
#include <string.h>

#define MAX(a, b) ((a)>(b)?(a):(b)) 

int main()
{
	int n;
	int a[100],dp[100][100];
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]);
	} 
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int j=1;j<=n;j++) 
	{
		if(j<a[1])
			dp[1][j]=0;
		else
			dp[1][j]=1;
	}
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)
		{
			if(j<a[i])
				dp[i][j]=dp[i-1][j];
			else
				dp[i][j]=MAX(dp[i-1][j],dp[i-1][a[i]-1]+1);
		}
	}
	
	printf("%d\n",dp[n][n]);
	return 0; 
}