poj1113 凸包

題目：http://poj.org/problem?id=1113

概念

凸包(Convex Hull)是一個計算幾何（圖形學）中的概念。用不嚴謹的話來講，給定二維平面上的點集，凸包就是將最外層的點連接起來構成的凸多邊型，它能包含點集中所有點的。嚴謹的定義和相關概念參見維基百科：凸包。

這個算法是由數學大師葛立恆(Graham)發明的，他曾經是美國數學學會(AMS)主席、AT&T首席科學家以及國際雜技師協會(IJA)主席。（太汗了，這位大牛還會玩雜技~）

 

問題

給定平面上的二維點集，求解其凸包。

 

過程

1. 在所有點中選取y座標最小的一點H，當作基點。如果存在多個點的y座標都爲最小值，則選取x座標最小的一點。座標相同的點應排除。然後按照其它各點p和基點構成的向量<H,p>與x軸的夾角進行排序，夾角由大至小進行順時針掃描，反之則進行逆時針掃描。實現中無需求得夾角，只需根據向量的內積公式求出向量的模即可。以下圖爲例，基點爲H，根據夾角由小至大排序後依次爲H，K，C，D，L，F，G，E，I，B，A，J。下面進行逆時針掃描。

 

 

2. 線段<H, K>一定在凸包上，接着加入C。假設線段<K, C>也在凸包上，因爲就H，K，C三點而言，它們的凸包就是由此三點所組成。但是接下來加入D時會發現，線段<K, D>纔會在凸包上，所以將線段<K, C>排除，C點不可能是凸包。

3. 即當加入一點時，必須考慮到前面的線段是否會出現在凸包上。從基點開始，凸包上每條相臨的線段的旋轉方向應該一致，並與掃描的方向相反。如果發現新加的點使得新線段與上線段的旋轉方向發生變化，則可判定上一點必然不在凸包上。實現時可用向量叉積進行判斷，設新加入的點爲p_{n + 1}，上一點爲p_n，再上一點爲p_{n - 1}。順時針掃描時，如果向量<p_{n - 1}, p_n>與<p_n, p_{n + 1}>的叉積爲正（逆時針掃描判斷是否爲負），則將上一點刪除。刪除過程需要回溯，將之前所有叉積符號相反的點都刪除，然後將新點加入凸包。

 

注意：在對極角（即最左點與其他點的交角）進行排序時要注意考慮共線情況

 

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<math.h>
#define PI 3.141592653
struct aa
{
	int x,y;
	int n;
	double angle;  //交角
}point[1100];
struct aa stack[1100];   //棧
double angle(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return atan2((double)(y1-y2),(double)(x1-x2));
}
int cmp(const void *a,const void *b)
{
	struct aa *c=(struct aa *)a;
	struct aa *d=(struct aa *)b;
	if(c->angle!=d->angle)
		return (c->angle>d->angle)?1:-1;
	return c->x-d->x;
}
int cross(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return ( (x1*y2)-(x2*y1) )>0?1:0;
}
int Grasan(int n,int end)
{
	int i,j,m;
	int p1,p2,p3;
	for(i=4;i<=n;i++)
	{
		while(end>=2)
		{
			if(cross(stack[end].x-stack[end-1].x,stack[end].y-stack[end-1].y,point[i].x-stack[end].x,point[i].y-stack[end].y)==1)
			{stack[++end]=point[i];break;}
			else
				end--;
		}
		if(end==1)
			stack[++end]=point[i];
	}
	return end;
}
double dist(int x1,int y1,int x2,int y2)
{
	return sqrt((double) ((x1-x2)*(x1-x2)+(y1-y2)*(y1-y2)) );
}
double count(int end)
{
	int i;
	double sum=0;
	for(i=1;i<end;i++)
		sum+=dist(stack[i].x,stack[i].y,stack[i+1].x,stack[i+1].y);
	sum+=dist(stack[1].x,stack[1].y,stack[end].x,stack[end].y);
	return sum;
}
int main()
{
	int i,j,n,m,l,end;
	scanf("%d%d",&n,&l);
	for(i=1,m=1;i<=n;i++)     //尋找最左邊的點，記爲基點
	{
		scanf("%d%d",&point[i].x,&point[i].y);point[i].n=i;
		if(point[i].y<point[m].y||(point[i].y==point[m].y&&point[i].x<point[m].x))
			m=i;
	}
	//求極角
	for(i=1,point[i].angle=-1;i<=n;i++)
		if(i!=m)
			point[i].angle=angle(point[i].x,point[i].y,point[m].x,point[m].y);

	//對極角由小到大排序，極角相等按x大小升序排
	qsort(point+1,n,sizeof(point[0]),cmp);

	stack[1]=point[1];
	stack[2]=point[2];
	stack[3]=point[3];
	end=3;
	end=Grasan(n,end);
	printf("%.0f\n",count(end)+2.0*PI*l);
	return 0;
}