DCT和DFT的關係以及MDCT的推導證明

背景

  DCT是離散餘弦變換的縮寫，由於其變換後具有較高的能量聚集度，通常作爲音視頻編碼的變換去使用。而由於DCT的塊效應，人們發明了很多方法去克服塊效應。例如LOT、MDCT。在aac的編碼中採用時域重疊的MDCT去實現(TDAC)。本博文僅從DFT到DCT的推導以及MDCT的編解碼流程進行講解,力求以數學的推導來闡明過程。

DFT : 離散傅立葉變換. 用於將離散的時域信號轉換到頻域上。
DCT : 離散餘弦變換，也是正交變換。用於將離散的時域信號轉換爲頻域上的信息
MDCT : 改進後的離散餘弦變換. 通過時域重疊來消除混疊。
IMDCT : MDCT的逆變換，時域信號在經過MDCT編碼以及IMDCT解碼後，還原出的並不是原始信號

DFT到DCT的推導

DFT : $\large X(k) = \sum_{n=0}^{N-1} x[n].e^{\frac{-j.2\pi.kn}{N}} \text{ }$
歐拉公式 : $\large e^{-j\theta} = cos\theta + j.sin\theta$

step：

1. 虛部爲0: 觀察DFT變換可得，當其爲實偶信號時，虛部爲0。因爲實偶信號的性質是x(n) = - x(n)，故在將DFT的複數部分拆開後由於其虛部爲奇函數，故實偶信號的虛部將會抵消。
2. 構建實偶信號: 時域信號經抽樣後皆爲實數，而要滿足偶函數的性質需要人爲構造。
   假設抽樣後具有從0到N-1的N點離散數字信號，其數學定義爲 $\large x[m] = \{ {x[0],....,x[N-1]} \}$。將該序列進行偶延拓，其數學定義更改爲
   $\acute{x[m]} = \begin{cases} x[m], & \text{if n belong to \{ {0,..,N-1} \}} \\ x[-m-1], & \text{if n belong to \{ {-N,..,-1} \} } \end{cases}$
   $\acute{x[m]}$信號如下圖1所示：
   
   再將$\acute{x[m]}$序列整體向右偏移$\Large\frac{1}{2}$，令$\large\ddot{x[m]}$爲$\large\acute{x[m-\frac{1}{2}]}$，$\large\ddot{x[m]}$如下圖2所示:
   
3. 重新推導實偶信號的DFT公式: $\large X(k) = \sum_{m=-N+\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} \ddot{x[m - \frac{1}{2}]}.e^{\frac{-j.2\pi.km}{2N}} \text{ } = 2 *\sum_{m=\frac{1}{2}}^{N-\frac{1}{2}} \ddot{x[m - \frac{1}{2}]}.e^{\frac{-j.2\pi.km}{2N}}$令n = m + $\frac{1}{2}$,則上式可化爲$\Large2*\sum_{n=0}^{N-1} \acute{x[n]}.cos(\frac{(n+\frac{1}{2}).k\pi}{N})$
4. 正交變換: 將DCT變換中與x[n]相乘的係數組織成矩陣C,如果該矩陣正交則有$C.C^{T} = E$.故將變換核的係數2做變換可得下式:$\Large\sqrt{\frac{2}{N}}.g_k*\sum_{n=0}^{N-1} \acute{x[n]}.cos(\frac{(n+\frac{1}{2}).k\pi}{N}) \tag{1}$
   其中$g_k$的數學定義爲:
   $\large g_k = \begin{cases} 1/\sqrt{2}, & \text{ k == 0} \\ 1, & \text{ k != 0 } \end{cases}$

MDCT的編解碼流程簡述

  MDCT作爲改進的離散餘弦變換，所以編碼由DCT過渡到MDCT是其本身的優勢的。DCT在二維圖片分量的變換中，其變換系數的高頻分量集中在左上角(轉換矩陣的左上角)，而由於圖片的編碼是將整體圖片切割成一個個小方塊進行編碼轉換，更是造成了相鄰方塊間在轉換之後容易引入噪聲，這就是方塊效應，在視覺上表示爲圖片編碼後相鄰小方塊間的白條。
  而諸如LOT、MDCT採用了TDAC實現的編碼轉換，轉換後的單位抽樣響應是由中間向其兩邊遞減的，如下圖3所示:

故MDCT可以很好的消除方塊效應。
  在MDCT變換中，輸入的離散數字信號長度爲2N，但是經過IMDCT[MDCT[x[n]]]的有效信號長度實則爲N，下圖4能很好的表示出來:

現對上圖4的編解碼流程進行數學推導：

1. MDCT變換公式：
   $\Large X(k) = \frac{2}{N}*\sum_{n=0}^{N-1} x[n].cos[ \frac{2\pi}{N}.(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{4}).(k+\frac{1}{2})] \quad \text{k $\in \{0,..,N/2-1\} $}$
   在MDCT變換中，由於X(k) == X(N+k)，所以X(k)只有N/2個獨立分量，故k的範圍爲$\{ 0,..,N/2-1\}$
2. IMDCT變換公式:
   $\Large x(n) = 2*\sum_{k=0}^{\frac{N}{2}-1} X[k].cos[ \frac{2\pi}{N}.(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{4}).(k+\frac{1}{2})] \quad \text{n $\in \{0,..,N-1\} $}$
3. 如何從解碼端獲取原始信號:
     假設輸入信號的序列爲$\large x[n]=\{ x_1,x_2 \}$,現證明經過MDCT變換以及IMDCT變換後的輸出信號$\large y[n]=\{ x_1-\acute{x_1},x_2+\acute{x_2} \}$,$\large\acute{x_1}$爲$\large x_1$的逆序序列,而$\large\acute{x_2}$爲$\large x_2$的逆序序列。
     令輸入的離散信號長度N爲4，$\large x[n]=\{x_0,x_1,x_2,x_3\}$,則需證明$\large y[n] =\{ x_0 - x_1,x_1-x_0,x_2-x_3,x_3-x_2\}$
     令長度N爲4的MDCT變換矩陣爲C，則C的數學定義如下:
   $C_k,_n= \begin{bmatrix} C_0,_0 & C_1,_0 \\ C_0,_1 & C_1,_1 \\ C_0,_2 & C_1,_2 \\ C_0,_3 & C_1,_3 \\ \end{bmatrix} ,\quad y[n]=x[n].C.C^T \Longrightarrow \quad y[n]=x[n].(CC^T)$
     再令$Q = CC^T$，且Q爲4*4矩陣，則上述證明轉換爲推導$Q_0,_0 = 1,Q_0,_1=-1$。再N=4的情況下，C表示如下:
   $C_k,_n= \begin{bmatrix} cos\frac{3}{8}\pi & cos\frac{9}{8}\pi \\ cos\frac{5}{8}\pi & cos\frac{15}{8}\pi \\ cos\frac{7}{8}\pi & cos\frac{21}{8}\pi \\ cos\frac{9}{8}\pi & cos\frac{27}{8}\pi \\ \end{bmatrix}\quad,\quad cosa.cosb = \frac{cos(a+b) + cos(a-b)}{2}$
      $Q_0,_0=C_0,_0*C_0,_0 + C_1,_0*C_1,_0 \Longrightarrow cos\frac{3}{8}\pi.cos\frac{3}{8}\pi +cos\frac{9}{8}\pi.cos\frac{9}{8}\pi \Longrightarrow 1$
      $Q_0,_1=C_0,_1*C_0,_0 + C_1,_1*C_1,_0 \Longrightarrow cos\frac{5}{8}\pi.cos\frac{3}{8}\pi +cos\frac{15}{8}\pi.cos\frac{9}{8}\pi \Longrightarrow -1$
      $Q_0,_2=C_0,_2*C_0,_0 + C_1,_2*C_1,_0 \Longrightarrow cos\frac{7}{8}\pi.cos\frac{3}{8}\pi +cos\frac{21}{8}\pi.cos\frac{9}{8}\pi \Longrightarrow 0$
      $Q_0,_3=C_0,_3*C_0,_0 + C_1,_3*C_1,_0 \Longrightarrow cos\frac{9}{8}\pi.cos\frac{3}{8}\pi +cos\frac{27}{8}\pi.cos\frac{9}{8}\pi \Longrightarrow 0$

   故
$\large \begin{bmatrix} x_0 & x_1 &x_2 &x_3 \\ \end{bmatrix} * \begin{bmatrix} 1 & C_1,_0 &C_2,_0 &C_3,_0 \\ -1 &C_1,_1 &C_2,_1 &C_3,_1 \\ 0 &C_1,_2 &C_2,_2 &C_3,_2 \\ 0 &C_1,_3 &C_2,_3 &C_3,_3 \\ \end{bmatrix} = \{y_0,y_1,y_2,y_3\}$
   可得$\large y_0 = x_0 - x_1$,後續$\large y_1$的推導讀者可以自證。
   令$\breve{x_i} =\{ x_i,x_{i+1} \}$,$\breve{x_{i+1}}=\{x_{i+1},x_{i+2}\}$,在MDCT的輸入序列中，當前序列和下個序列的時域重疊爲50%.而$y_i= IMDCT(MDCT(\breve{x_i})) = \{\ x_i - \acute{x_i},x_{i+1} + \acute{x_{i+1}} \}$$y_{i+1}= IMDCT(MDCT(\breve{x_{i+1}})) = \{\ x_{i+1} - \acute{x_{i+1}},x_{i+2} + \acute{x_{i+2}} \}$
   再令輸出序列的$y_i,y_{i+1}$進行時域50%重疊，即可還原出2$\large x_{i+1}$

MDCT的快速算法

N點的MDCT可以轉化爲N/2點的DCT-IV進行計算。

1. MDCT的公式如下:
   $\Large X(k) = \frac{2}{N}*\sum_{n=0}^{N-1} x[n].cos[ \frac{2\pi}{N}.(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{4}).(k+\frac{1}{2})] \quad \text{k $\in \{0,..,N/2-1\} $}$
   令N=2m，可變換爲:
   $\Large X(k) = \frac{1}{M}*\sum_{n=0}^{2M-1} x[n].cos[ \frac{\pi}{M}.(n+\frac{1}{2}+\frac{M}{2}).(k+\frac{1}{2})] \quad \text{k $\in \{0,..,N/2-1\} $}$
   同時令$\varepsilon_n=cos[\frac{\pi}{M}.(n+\frac{1}{2}).(k+\frac{1}{2})]$,而$\varepsilon_n$即是DCT變換核的係數因子。現通過$\varepsilon_n$將MDCT化簡:
   $\Large X(k) = \frac{1}{M}*\sum_{n=0}^{2M-1} x[n].cos[ \frac{2\pi}{N}.(n+\frac{1}{2}+\frac{M}{2}).(k+\frac{1}{2})] = \sum_{n=0}^{2M-1} x_n.\varepsilon_{\frac{M}{2}+n}$
   $\Large = \sum_{n=0}^{\frac{M}{2}-1} [ x_n.\varepsilon_{\frac{M}{2}+n} + x_{M-1-n}.\varepsilon_{\frac{3M}{2}-1-n}+ \varepsilon_{2M-1-n}.x_{\frac{3M}{2}-1-n} + \varepsilon_{2M+n}.x_{\frac{3M}{2}+n} ]\tag{3}$又因爲$\large\varepsilon_{2M+n}=\varepsilon_{2M-1-n}=-\varepsilon_n$，式3可化爲:
   $\Large \quad \sum_{n=0}^{\frac{M}{2}-1} [ x_n.\varepsilon_{\frac{M}{2}+n} - x_{M-1-n}.\varepsilon_{\frac{M}{2}+n} - \varepsilon_{n}.x_{\frac{3M}{2}-1-n} - \varepsilon_{2M+n}.x_{\frac{3M}{2}+n} ]$$\Large = \sum_{n=M/2}^{M-1} \varepsilon_{n}.(x_{n-\frac{M}{2}} - x_{\frac{3M}{2}-1-n} ) - \sum_{n=0}^{\frac{M}{2}-1} \varepsilon_{n}.( x_{\frac{3M}{2}-1-n} + x_{\frac{3M}{2}+n} )$則MDCT可以化爲類似DCT變換的求和式:$\large\sum_{n=0}^{M-1}\breve{x_n}\varepsilon_n,\breve{x_n}$爲:
   $\large \breve{x_n} = \begin{cases} -(x_{\frac{3M}{2}-1-n}+x_{\frac{3M}{2}+n}), & \text{ n = \{0,..,$\frac{M}{2}$-1 \}} \\ (x_{n-\frac{M}{2}} - x_{\frac{3M}{2}-1-n}),, & \text{ n = \{$\frac{M}{2}$,..,$\small M$ -1 \}} \end{cases}$ 所以2N點的MDCT可以化爲N/2的DCT進行計算，而DCT可以轉化爲FFT通過蝶形單元減少算法的計算時間度。