題解轉自博客：www.cnblogs.com/mickole/articles/3578298.html
題目：（替代題目可去pat天梯賽練習題中尋找，當然那個題n3也能過）
長度爲N(N很大)的字符串，求這個字符串裏的最長迴文子串？（百度2014校招筆試題目）
大家都知道，求迴文串時需要判斷其奇偶性，也就是求aba和abba的算法略有差距。然而，這個算法做了一個簡單的處理，很巧妙地把奇數長度迴文串與偶數長度迴文串統一考慮，也就是在每個相鄰的字符之間插入一個分隔符，串的首尾也要加，當然這個分隔符不能再原串中出現，一般可以用‘#’或者‘$’等字符。例如：
原串：abaab
新串：#a#b#a#a#b#
這樣一來，原來的奇數長度迴文串還是奇數長度，偶數長度的也變成以‘#’爲中心的奇數迴文串了。
接下來就是算法的中心思想，用一個輔助數組P記錄以每個字符爲中心的最長迴文半徑，也就是P[i]記錄以S[i]字符爲中心的最長迴文串半徑。P[i]最小爲1，此時迴文串爲Str[i]本身。
爲了防止求P[i]向兩邊擴展時可能數組越界，我們需要在數組最前面和最後面加一個特殊字符，令P[0]=‘$’，最後位置默認爲‘\0’不需要特殊處理
我們可以對上述例子寫出其P數組，如下:
新串： # a # b # a # a # b #
P[] : 1 2 1 4 1 2 5 2 1 2 1
我們可以證明P[i]-1就是以S[i]爲中心的迴文串在原串當中的長度。
證明：
1、顯然L=2*P[i]-1即爲新串中以S[i]爲中心最長迴文串長度。
2、以S[i]爲中心的迴文串一定是以#開頭和結尾的，例如“#b#b#”或“#b#a#b#”所以L減去最前或者最後的‘#’字符就是原串中長度的二倍，即原串長度爲(L-1)/2，化簡的P[i]-1。
那麼怎麼計算P[i]呢？該算法增加兩個輔助變量（其實一個就夠了，兩個更清晰）id和mx，其中id表示最大回文子串中心的位置，mx則爲id+P[id]，也就是最大回文子串的邊界。依次從前往後求得P數組就可以了，這裏用到了DP(動態規劃)的思想，也就是求P[i]的時候，前面的P[]值已經得到了，我們利用迴文串的特殊性質可以進行一個大大的優化。我先把核心代碼貼上：
這個算法的關鍵點就在這裏了：
if(mx > i)
P[i] >= MIN(P[2 * id - i], mx - i)
就是這個串卡了我非常久。實際上如果把它寫得複雜一點，理解起來會簡單很多：
//記j = 2 * id - i，也就是說 j 是 i 關於 id 的對稱點。 if (mx - i > P[j]) P[i] = P[j]; else /* P[j] >= mx - i */ P[i] = mx - i; // P[i] >= mx - i，取最小值，之後再匹配更新。
當然光看代碼還是不夠清晰，還是藉助圖來理解比較容易。
當 mx - i > P[j] 的時候，以S[j]爲中心的迴文子串包含在以S[id]爲中心的迴文子串中，由於 i 和 j 對稱，以S[i]爲中心的迴文子串必然包含在以S[id]爲中心的迴文子串中，所以必有 P[i] = P[j]，見下圖。 
當 P[j] >= mx - i 的時候，以S[j]爲中心的迴文子串不一定完全包含於以S[id]爲中心的迴文子串中，但是基於對稱性可知，下圖中兩個綠框所包圍的部分是相同的，也就是說以S[i]爲中心的迴文子串，其向右至少會擴張到mx的位置，也就是說 P[i] >= mx - i。至於mx之後的部分是否對稱，就只能老老實實去匹配了。 
對於 mx <= i 的情況，無法對 P[i]做更多的假設，只能P[i] = 1，然後再去匹配了。
核心代碼：
void pk() { int i; int mx = 0; int id; for(i=1; i<n; i++) { if( mx > i ) p[i] = MIN( p[2*id-i], mx-i ); else p[i] = 1; for(; str[i+p[i]] == str[i-p[i]]; p[i]++) ; if( p[i] + i > mx ) { mx = p[i] + i; id = i; } } }
解法二：動態規劃（DP),區間dp
思想：DP的考慮源於暴力方法，暴力方法是尋找一個字符串的所有子串，需要O(n^2)的開銷，然後對於每一個子串需要O(n)的開銷來判斷是否是迴文，故暴力方案爲O(n^3)，但是這裏有一個問題，就是在暴力的時候有重複判斷；
例如，如果子串X爲迴文，那麼sXs也是迴文；如果X不是迴文，那麼sXs也不是迴文；另外，ss也是迴文。所以這裏使用DP我們可以按照子串長度從小到大的順序來構建DP狀態數組，使用一個二維數組dp[i][j]記錄子串[i-j]是否爲迴文子串，那麼我們就有初始化和自底向上的方案了；
初始化：單字符串和相等的雙字符串爲迴文
自底向上構造：X[i]==X[j] && dp[i+1][j-1]==1 則dp[i][j] = 1
2種解法的完整代碼：
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <queue>
#include <set>
#include <map>
#include <string>
#include <cmath>
#include <cstdlib>
#include <ctime>
#include <stack>
#include <sstream>
#include <string>
using namespace std;
const int maxn = 1100;
string bydp(string s){
bool dp[maxn][maxn];
memset(dp,0,sizeof(dp));
int n = s.length();
int maxlen = 1,lbegin = 0;
///長度爲1的單獨處理
for(int i = 0;i<n;++i){
dp[i][i] = 1;
}
///長度爲2的單獨處理。
for(int i = 0;i<n-1;++i){
if(s[i]==s[i+1]){
dp[i][i+1] = 1;
maxlen = 2;
lbegin = i;
}
}
for(int len = 3;len <=n;++len){
for(int i = 0;i+len-1<n;++i){
int j = i+len-1;
if(dp[i+1][j-1] && s[i]==s[j]){
dp[i][j] = 1;
maxlen = len;
lbegin = i;
}
}
}
return s.substr(lbegin,maxlen);
}
string byManacher(string s){
///轉換爲新串
int n = s.length();///原串長度
string news;
news+='@';news+='#';
for(int i = 0;i<n;++i){
news+=s[i];
news+='#';
}
///求解p
int p[2*maxn];
n = 2*n+2;
memset(p,0,sizeof(p));
int id=0,mx=0;///***id是最大回文子串中心的位置，並不是最長迴文子串中心的位置
int maxcent = 0, maxr = 0;;
for(int i = 1;i<n;++i){
int j = 2*id-i;///j是i關於id的對稱點
if(mx>i) p[i] = min(p[j],mx-i);
else p[i] = 1;
while(i+p[i]<n && i-p[i]>0 && news[i+p[i]] == news[i-p[i]]) p[i]++;
if(p[i]+i>mx){///更新位置
id = i;
mx = p[i]+i;
}
if(p[i]>maxr){
maxcent = i;
maxr = p[i];
}
}
string ans;
int maxbegin = maxcent-maxr+1,maxend = maxcent+maxr-1;
for(int i = maxbegin;i<=maxend;++i){
if(news[i] != '#') ans += news[i];
}
return ans;
}
int main(){
string s;
getline(cin,s);
s = bydp(s);
///s = byManacher(s);
cout<<s.length();
return 0;
}
