《程序設計與算法》之【分治算法】

• 分治的基本概念
• 歸併排序
• 快速排序
• 例題
  
  • 輸出前m大的數
  • 求排列的逆序數

分治的基本概念

把一個任務，分成形式和原任務相同，但規模更小的幾個部分任務（通常是兩個部分），分別完成，或只需要選一部完成。然後再處理完成後的這一個或幾個部分的結果，實現整個任務的完成。

分治的生活實例–稱假幣

16枚硬幣，有可能有1枚假幣，假幣比真幣輕。有一架天平，用最少稱量次數確定有沒有假幣，若有的話，假幣是哪一枚。

• 8 - 8一稱，發現無假幣，或者假幣所在的那8枚
• 4 - 4一稱
• 2 - 2一稱
• 1 - 1一稱

歸併排序

數組排序任務可以如下完成：

1）把前一半排序
2) 把後一半排序
3) 把兩半歸併到一個新的有序數組，然後再拷貝回原數組，排序完成。

#include <iostream>
using namespace std;
/* 
 將數組a的局部[s,m]和a[m+1,e]合併到tmp，並保證tmp有序，然後拷貝回a[s,m]
 歸併操作時間複雜度：O(e-m+1)，即O(n)
 */
void Merge(int a[], int s, int m, int e, int tmp[]) {
    int pb = 0;
    int p1 = s, p2 = m+1;
    while (p1 <= m && p2 <= e) {
        if (a[p1] < a[p2])
            tmp[pb++] = a[p1++];
        else
            tmp[pb++] = a[p2++];
    }
    while (p1 <= m)
        tmp[pb++] = a[p1++];
    while (p2 <= e)
        tmp[pb++] = a[p2++];
    for (int i = 0; i < e-s+1; i++)
        a[s+i] = tmp[i];
}
void MergeSort(int a[], int s, int e, int tmp[]) {
    if (s < e) {
        int m = s+(e-s)/2;
        MergeSort(a, s, m, tmp);
        MergeSort(a, m+1, e, tmp);
        Merge(a, s, m, e, tmp);
    }
}

int main() {
    int a[10] = {13, 27, 19, 2, 8, 12, 2, 8, 30, 89};
    int b[10];
    int size = sizeof(a)/sizeof(int);
    MergeSort(a, 0, size-1, b);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

快速排序

數組排序任務可以如下完成：
1）設k=a[0], 將k挪到適當位置，使得比k小的元素都在k左邊，比k大的元素都在k右邊，和k相等的，不關心，在k左右出現均可 （O(n)時間完成）
2) 把k左邊的部分快速排序
3) 把k右邊的部分快速排序

#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int &a, int &b) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp;
}
void QuickSort(int a[], int s, int e) {
    if (s >= e)
        return;
    int k = a[s];
    int i = s, j = e;
    while (i != j) {
        while (j > i && a[j] >= k)
            j--;
        swap(a[i], a[j]);
        while (i < j && a[i] <= k)
            i++;
        swap(a[i], a[j]);
    }  // 處理完，a[i] = k
    QuickSort(a, s, i-1);
    QuickSort(a, i+1, e);
}
int main() {
    int a[10] = {13, 27, 19, 2, 8, 12, 2, 8, 30, 89};
    int size = sizeof(a)/sizeof(int);
    QuickSort(a, 0, size-1);
    for (int i = 0; i < size; i++) {
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

輸出前m大的數

題目描述
給定一個數組包含n個元素，統計前m大的數並且把這m個數從大到小輸出。

輸入：
第一行包含一個整數n，表示數組的大小。n < 100000。
第二行包含n個整數，表示數組的元素，整數之間以一個空格分開。每個整數的絕對值不超過100000000。 第三行包含一個整數m，m < n。

輸出：
從大到小輸出前m大的數，每個數一行。

解答思路
排序後再輸出，複雜度 O(nlogn)
用分治處理：複雜度 O(n+mlogm)
思路：把前m大的都弄到數組最右邊，然後對這最右邊m個元素排序， 再輸出
關鍵 ：O(n)時間內實現把前m大的都弄到數組最右邊

如何將前k大的都弄到最右邊?

引入操作 arrangeRight(k): 把數組(或數組的一部分）前k大的 都弄到最右邊
1）設key=a[0], 將key挪到適當位置，使得比key小的元素都在 key左邊，比key大的元素都在key右邊（線性時間完成）
2) 選擇數組的前部或後部再進行 arrangeRight操作

解答

#include <iostream>
using namespace std;
void swap(int &a, int &b) {
    int tmp = a;
    a = b;
    b = tmp;
}
void QuickSort(int a[], int s, int e) {
    if (s >= e)
        return;
    int k = a[s];
    int i = s, j = e;
    while (i != j) {
        while (j > i && a[j] >= k)
            j--;
        swap(a[i], a[j]);
        while (i < j && a[i] <= k)
            i++;
        swap(a[i], a[j]);
    }  // 處理完，a[i] = k
    QuickSort(a, s, i-1);
    QuickSort(a, i+1, e);
}
void arrangeRight(int a[], int s, int e, int m) {
    if (s >= e)
        return;
    if (m == e-s+1)
        return;
    int k = a[s];
    int i = s, j = e;
    while (i != j) {
        while (j > i && a[j] >= k)
            j--;
        swap(a[i], a[j]);
        while (i < j && a[i] <= k)
            i++;
        swap(a[i], a[j]);
    }
    if (m == e - i + 1)
        return;
    else if (m < e - i + 1)
        arrangeRight(a, i+1, e, m);
    else if (m > e - i + 1)
        arrangeRight(a, s, i, m-(e-i+1));
}
void printM(int a[], int n, int m) {
    arrangeRight(a, 0, n, m);
    QuickSort(a, n-m, n-1);
}
int main() {
    int m = 5;
    int a[10] = {13, 27, 19, 2, 8, 12, 2, 8, 30, 89};
    int size = sizeof(a)/sizeof(int);
    printM(a, size-1, m);
    for (int i = size-m; i < size; i++) {
        cout << a[i] << " ";
    }
    cout << endl;
    return 0;
}

求排列的逆序數

題目描述
考慮1,2,…,n (n <= 100000)的排列i1 ，i2 ，…，in ，如果其中存在j，k，滿足 j < k 且 ij > ik ， 那麼就稱(ij，ik )是這個排列的一個逆序。
一個排列含有逆序的個數稱爲這個排列的逆序數。例如排列 263451 含有8個逆序(2,1),(6,3),(6,4),(6,5),(6,1),(3,1),(4,1),(5,1)，因此該排列的逆序數就是8。
現給定1,2,…,n的一個排列，求它的逆序數。

解題思路
笨辦法：O(n^2 )
分治O(nlogn)：
1） 將數組分成兩半，分別求出左半邊的逆序數和右半邊的逆序數
2） 再算有多少逆序是由左半邊取一個數和右半邊取一個數構成(要求O(n)實現）
2) 的關鍵：左半邊和右半邊都是排好序的。比如，都是從大到小排序的。這樣，左右半邊只需要從頭到尾各掃一遍，就可以找出由兩邊各取一個數構成的逆序個數

#include <iostream>
using namespace std;

int count_ = 0;

void Merge(int a[], int s, int m, int e, int tmp[]) {
    int pb = 0;
    int p1 = s, p2 = m+1;
    while (p1 <= m && p2 <= e) {
        if (a[p1] <= a[p2])
            tmp[pb++] = a[p2++];
        else {
            count_ += e-p2+1;
            tmp[pb++] = a[p1++];
        }
    }
    while (p1 <= m)
        tmp[pb++] = a[p1++];
    while (p2 <= e)
        tmp[pb++] = a[p2++];
    for (int i = 0; i < e-s+1; i++)
        a[s+i] = tmp[i];
}
void MergeSort(int a[], int s, int e, int tmp[]) {
    if (s < e) {
        int m = s+(e-s)/2;
        MergeSort(a, s, m, tmp);
        MergeSort(a, m+1, e, tmp);
        Merge(a, s, m, e, tmp);
    }
}

int main() {
    int a[10] = {13, 27, 19, 2, 8, 12, 2, 8, 30, 89};
    int b[10];
    int size = sizeof(a)/sizeof(int);
    MergeSort(a, 0, size-1, b);
    cout << count_ << endl;
    return 0;
}