分治法（合併排序）

分治算法策略：

    將原問題劃分成n個規模較小而結構與原問題相似的子問題；遞歸地解決這些子問題，然後再合併其結果，就得到原問題的解。

分治模式步驟：

    分解（Divide)：將原問題分解成一系列子問題。

    解決（Conquer）：遞歸地解決各子問題。若子問題足夠小，則直接求解。

    合併（Combine）：將子問題的結果合併成原問題的解。

合併排序算法完全依照了上述模式，直觀地操作如下：

    分解：將n個元素分成各含n/2個元素的子序列；

    解決：用合併排序法對兩個子序列遞歸地排序；

    合併：合併兩個已排序的子序列以得到排序結果。

合併排序僞代碼如下：

    

MERGE(A, p, q, r)
1  n1 ← q - p + 1
2  n2 ← r - q
3  create arrays L[1 ‥ n1 + 1] and R[1 ‥ n2 + 1]
4  for i ← 1 to n1
5       do L[i] ← A[p + i - 1]
6  for j ← 1 to n2
7       do R[j] ← A[q + j]
8  L[n1 + 1] ← ∞
9  R[n2 + 1] ← ∞
10  i ← 1
11  j ← 1
12  for k ← p to r
13       do if L[i] ≤ R[j]
14             then A[k] ← L[i]
15                  i ← i + 1
16             else A[k] ← R[j]
17                  j ← j + 1

圖示如下：

使用遞歸方法進行排序：

僞代碼如下：

MERGE-SORT(A, p, r)
1 if p < r
2   then q ← ⌊(p + r)/2⌋
3        MERGE-SORT(A, p, q)
4        MERGE-SORT(A, q + 1, r)
5        MERGE(A, p, q, r)

整個過程可以用下圖來表示：

分治法分析：

分治法的遞歸式可以把原問題分解成a個子問題，每一個的大小是原問題的1/b。如果分解該問題和合並解的時間各爲D(n)和C(n)，則得到遞歸式：

合併排序算法的分析：

    第一層有一個節點，第二層2各節點，以此類推，第i層有2ⁱ個節點。

    由於第i層的節點個數爲n，也就是:2ⁱ=n， 所以i=lgn。

    這個二叉樹的層數爲：lg n + 1。

    每層得代價都是cn,所以整棵樹的總代價就是：

     cn(lg n + 1) = cn lg n + cn

    忽略低階項和常量c,即得到結果：

    Θ(n lgn).

    這就是合併排序的算法複雜度。