二分圖

定義

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簡而言之，就是頂點集V可分割爲兩個互不相交的子集，並且圖中每條邊依附的兩個頂點都分屬於這兩個互不相交的子集，兩個子集內的頂點不相鄰。

辨析示例

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區別二分圖，關鍵是看點集是否能分成兩個獨立的點集。[1] 

上圖中U和V構造的點集所形成的循環圈不爲奇數，所以是二分圖。

上圖中U和V和W構造的點集所形成的的循環圈爲奇數，所以不是二分圖。

充要條件

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無向圖G爲二分圖的充分必要條件是，G至少有兩個頂點，且其所有迴路的長度均爲偶數。

證先證必要性。

設G爲二分圖<X，E，Y>。由於X，Y非空，故G至少有兩個頂點。若C爲G中任一回路，令

C = (v0,v 1,v2，…，v l-1,v l = v0)

其中諸vi (i = 0,1，…，l）必定相間出現於X及Y中，不妨設

{v0,v2,v4，…，v l = v0} &Iacute; X

{v1,v3,v5，…，v l-1} &Iacute; Y

因此l必爲偶數，從而C中有偶數條邊。

再證充分性。

設G的所有迴路具有偶數長度，並設G爲連通圖（不失一般性，若G不連通，則可對G的各連通分支作下述討論）。

令G的頂點集爲V，邊集爲E，現構作X，Y，使<X，E，Y> = G。取v0&Icirc;V，置

X = {v | v= v0或v到v0有偶數長度的通路}

Y = V-X

X顯然非空。現需證Y非空，且沒有任何邊的兩個端點都在X中或都在Y中。

由於|V|≥2並且G爲一連通圖，因此v0必定有相鄰頂點，設爲v1，那麼v1&Icirc;Y；故Y不空。

設有邊（u,v），使u&Icirc;X，v&Icirc;X。那麼，v0到u有偶數長度的通路，或u = v0；v0到v有偶數長度的通路，或v = v0。無論何種情況，均有一條從v0到v0的奇數長度的閉路徑，因而有從v0到v0的奇數長度的迴路（因從閉路徑上可能刪去的迴路長度總爲偶數），與題設矛盾。故不可能有邊（u,v）使u,v均在X中。

“沒有任何邊的兩個端點全在Y中”的證明可仿上進行，請讀者思考。