數學分析：重極限和累次極限

定義：

以二元函數爲例，

重極限：是指兩個自變量x、y，同時以任何方式趨於、時，函數的極限;

累次極限：是指兩個自變量x、y,以一定的先後順序相繼趨於、時，函數的極限；

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理解：

1. 過去認識的誤區：重極限是所有路徑，累次極限是特殊路徑。這樣想是不完全正確的：重極限只取了一次極限。而，累次極限是第一次對函數值取極限，第二次是對極限值再次求極限，這點體現了累次極限並不是嚴格意義上的特殊路徑。   所以也就不難理解：爲什麼有的重極限不存在，累次極限卻是可以存在的？（如果是照着所有路徑和特殊路徑的方向去想，是很難接受這點的）
2. 一個熱心網友提到：斷崖。"斷崖就是重極限不存在，而累次極限可能存在的。"有點意思，但是覺得有些牽強，留些空白，日後來補，，，，，                  
3. 思考一個例子：,是一個震盪函數，在靠近 處上下劇烈震盪。當(x,y)趨於原點的時候，y趨於0;但是，當x趨於0時，y是沒有極限的,即這種累次極限是不存在的；當y趨於0時，卻是可以的。這個例子來源於另外一個熱心網友。貌似所言有理。待補，，，，
4. 另一個華東師大教材的例子：,當(x,y)趨於(0,0)時，函數值是趨於0的（具體過程考慮放縮成|x|+|y|）,也就是重極限存在。但是，對累次極限，不管是先令x趨於0，還是y趨於0，函數值都是不存在極限的，也就是不存在累次極限。
5. 重極限和累次極限這三個極限如果都存在的話，必然相等。不過，已知重極限存在和一個累次極限存在，另一個累次極限可能存在，也可能不存在（4中的例子，取一半就是）。
6. 累次極限的可交換爲計算多元函數極限提供了方便，而實現交換需要重極限存在，這一點由5可以看出。