[筆記]: 差分約束

差分約束系統

形如這個樣子：

X1 - X2 <= 0
X1 - X5 <= -1
X2 - X5 <= 1
X3 - X1 <= 5
X4 - X1 <= 4
X4 - X3 <= -1
X5 - X3 <= -3
X5 - X4 <= -3

比如要求  滿足此條件的 x1x2x3x4x5和的最小值

怎麼做呢? 此時 把式子傳化一下 如  X4-X5>=3 (一定帶等於) 再變成 X4>=X5+3

如求最小值 就是大於等於 小於反之

然後轉換爲最長路 從X4連一條權值爲3的邊到X5 像這樣子連 然後求最長路（spfa）

最後得到的d[n]就是最小答案 

例題

bzoj2330糖果

2330: [SCOI2011]糖果

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Description

幼兒園裏有N個小朋友，lxhgww老師現在想要給這些小朋友們分配糖果，要求每個小朋友都要分到糖果。但是小朋友們也有嫉妒心，總是會提出一些要求，比如小明不希望小紅分到的糖果比他的多，於是在分配糖果的時候，lxhgww需要滿足小朋友們的K個要求。幼兒園的糖果總是有限的，lxhgww想知道他至少需要準備多少個糖果，才能使得每個小朋友都能夠分到糖果，並且滿足小朋友們所有的要求。

Input

輸入的第一行是兩個整數N，K。

接下來K行，表示這些點需要滿足的關係，每行3個數字，X，A，B。

如果X=1， 表示第A個小朋友分到的糖果必須和第B個小朋友分到的糖果一樣多；

如果X=2， 表示第A個小朋友分到的糖果必須少於第B個小朋友分到的糖果；

如果X=3， 表示第A個小朋友分到的糖果必須不少於第B個小朋友分到的糖果；

如果X=4， 表示第A個小朋友分到的糖果必須多於第B個小朋友分到的糖果；

如果X=5， 表示第A個小朋友分到的糖果必須不多於第B個小朋友分到的糖果；

Output

輸出一行，表示lxhgww老師至少需要準備的糖果數，如果不能滿足小朋友們的所有要求，就輸出-1。

Sample Input

5 7
1 1 2
2 3 2
4 4 1
3 4 5
5 4 5
2 3 5
4 5 1

Sample Output

11

HINT

【數據範圍】

    對於30%的數據，保證 N<=100

    對於100%的數據，保證 N<=100000

對於所有的數據，保證 K<=100000，1<=X<=5，1<=A, B<=N

Source

Day1

題解

對於每種情況 列出一個不等式 在傳化成上面說的樣子連邊 求最長路

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#include<queue>
#define N 100005
using namespace std;
struct edge{int to,w,next;}e[1000005];long long ans=0;
int n,k;
int start=0,cnt;
int head[N],d[N],ct[N],flag[N];
void insert(int x,int y,int z){e[++cnt].to=y;e[cnt].w=z;e[cnt].next=head[x];head[x]=cnt;}
queue<int>q; 
bool spfa(){
	memset(d,-1,sizeof(d));
	q.push(start);
	d[start]=0;ct[start]=1;flag[start]=1;
	while(!q.empty()){
		int k=q.front();q.pop();flag[k]=0;
		for(int i=head[k];i;i=e[i].next){
			int kk=e[i].to;
			if(d[kk]<d[k]+e[i].w){
				d[kk]=d[k]+e[i].w;
				if(!flag[kk]){
					flag[kk]=1;
					ct[kk]++;
					if(ct[kk]>=n) return 0;
					q.push(kk);
				}	
			}
		}
	}
	return 1;
}
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&k);
	int x,a,b;
	for(int i=1;i<=k;i++)
	{	scanf("%d%d%d",&x,&a,&b);
		switch(x){ 
			case 1:	insert(a,b,0);insert(b,a,0);break;
            case 2:	if(a==b){printf("-1");return 0;}
					insert(a,b,1);break;
            case 3:	insert(b,a,0);break;
            case 4:	if(a==b){printf("-1");return 0;}
                	insert(b,a,1);break;
            case 5:	insert(a,b,0);break;
		} 
	}
	for(int i=n;i>=1;i--)insert(start,i,1);
	//有一個坑爹的點就是形成的是十萬個點的一條鏈，如果從0到所有點順序加邊就會T，改成倒序就AC
	if(!spfa()) {printf("-1");return 0;}
	for(int i=1;i<=n;i++) ans+=d[i];
	printf("%lld",ans);
	return 0;
}