動態規劃-最長迴文子序列

出處：http://www.acmerblog.com/longest-palindromic-subsequence-5721.html

給一個字符串，找出它的最長的迴文子序列的長度。例如，如果給定的序列是“BBABCBCAB”，則輸出應該是7，“BABCBAB”是在它的最長迴文子序列。 “BBBBB”和“BBCBB”也都是該字符串的迴文子序列，但不是最長的。注意和最長迴文子串的區別(參考：最長迴文串)！這裏說的子序列，類似最長公共子序列LCS( Longest Common Subsequence)問題，可以是不連續的。這就是LPS(Longest Palindromic Subsequence)問題。

最直接的解決方法是：生成給定字符串的所有子序列，並找出最長的迴文序列，這個方法的複雜度是指數級的。下面來分析怎麼用動態規劃解決。

1）最優子結構

假設 X[0 ... n-1]  是給定的序列，長度爲n.  讓 L(0,n-1) 表示 序列 X[0 ... n-1] 的最長迴文子序列的長度。

1. 如果X的最後一個元素和第一個元素是相同的，這時：L(0, n-1) = L(1, n-2) + 2 ,  還以 “BBABCBCAB” 爲例，第一個和最後一個相同，因此 L(1,n-2) 就表示藍色的部分。

2. 如果不相同：L(0, n-1) = MAX ( L(1, n-1) ,  L(0, n-2) )。 以”BABCBCA” 爲例，L(1,n-1)即爲去掉第一個元素的子序列，L(0, n-2)爲去掉最後一個元素。

有了上面的公式，可以很容易的寫出下面的遞歸程序：

01	#include<stdio.h>

02	#include<string.h>

03	int lps(char *seq, int i, int j)

04

{

05

//一個元素即爲1

06	if (i == j)

07

return 1;

08	if(i > j) return 0; //因爲只計算序列 seq[i ... j]

09

10

// 如果首尾相同

11	if (seq[i] == seq[j])

12	return lps (seq, i+1, j-1) + 2;

13

14

// 首尾不同

15	return max( lps(seq, i, j-1), lps(seq, i+1, j) );

16

}

17

18

/* 測試 */

19	int main()

20

{

21	char seq[] = "acmerandacm";

22	int n = strlen(seq);

23	printf ("The lnegth of the LPS is %d", lps(seq, 0, n-1));

24	getchar();

25

return 0;

26

}

Output: The lnegth of the LPS is 5 (即爲: amama)

重疊子問題

畫出上面程序的遞歸樹(部分)，已一個長度爲6 的字符串爲例：

1

L(0, 5)

2	/        \

3	/          \

4	L(1,5)          L(0,4)

5	/    \            /    \

6	/      \          /      \

7	L(2,5)    L(1,4)  L(1,4)  L(0,3)

可見有許多重複的計算，例如L(1,4)。該問題符合動態規劃的兩個主要性質: 重疊子問題 和 最優子結構  。

下面通過動態規劃的方法解決，通過自下而上的方式打表，存儲子問題的最優解。

01	int lpsDp(char * str,int n){

02	int dp[n][n], tmp;

03	memset(dp,0,sizeof(dp));

04	for(int i=0; i<n; i++) dp[i][i] = 1;

05	// i 表示 當前長度爲 i+1的 子序列

06	for(int i=1; i<n; i++){

07

tmp = 0;

08	//考慮所有連續的長度爲i+1的子串. 該串爲 str[j, j+i]

09	for(int j=0; j+i<n; j++){

10

//如果首尾相同

11	if(str[j] == str[j+i]){

12	tmp = dp[j+1][j+i-1] + 2;

13

}else{

14	tmp = max(dp[j+1][j+i],dp[j][j+i-1]);

15

}

16	dp[j][j+i] = tmp;

17

}

18

}

19	//返回串 str[0][n-1] 的結果

20	return dp[0][n-1];

21

}

該算法的時間複雜度爲O(n^2)。其實這個問題和 最長公共子序列 問題有些相似之處，我們可以對LCS算法做些修改，來解決此問題:

1) 對給定的字符串逆序 存儲在另一個數組 rev[] 中

2) 再求這兩個 字符串的 LCS的長度

時間複雜度也爲 O(n^2)。

參考：http://www.geeksforgeeks.org/dynamic-programming-set-12-longest-palindromic-subsequence/